Paraboliska koordinater

I gröna, konfokala paraboler som öppnar sig uppåt, $2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$ I rött, konfokala paraboler som öppnar sig nedåt, $2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2 }$

Paraboliska koordinater är ett tvådimensionellt ortogonalt koordinatsystem där koordinatlinjerna är konfokala paraboler . En tredimensionell version av paraboliska koordinater erhålls genom att rotera det tvådimensionella systemet runt parabolernas symmetriaxel.

Paraboliska koordinater har funnit många tillämpningar, t.ex. behandlingen av Stark-effekten och den potentiella teorin om kanterna.

Tvådimensionella paraboliska koordinater

Tvådimensionella paraboliska koordinater $(\sigma ,\tau )$ definieras av ekvationerna, i termer av kartesiska koordinater:

$x=\sigma \tau$

$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}- \sigma ^{2}\right)$

Kurvorna för konstanten $\sigma$ bildar konfokala paraboler

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

som öppnar sig uppåt (dvs mot $+y$ ), medan kurvorna för konstanten $\tau$ bildar konfokala paraboler

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

som öppnas nedåt (dvs mot $-y$ ). Fokus för alla dessa paraboler är belägna vid ursprunget.

De kartesiska koordinaterna $x$ och $y$ kan konverteras till paraboliska koordinater genom:

$\sigma ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y}}~{\text{tecken }}(x)$

$\tau ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+y}}.$

Tvådimensionella skalfaktorer

Skalfaktorerna för de paraboliska koordinaterna $(\sigma ,\tau )$ är lika

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

Därför är den oändliga delen av arean

$dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau$

och Laplacian lika

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2} +\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi } {\partial \tau ^{2}}}\right)$

Andra differentialoperatorer som $\nabla \cdot \mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ kan uttryckas i koordinaterna ${ \displaystyle (\sigma ,\tau )}$ genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formlerna som finns i ortogonala koordinater .

Tredimensionella paraboliska koordinater

Koordinatytor för de tredimensionella paraboliska koordinaterna. Den röda paraboloiden motsvarar τ=2, den blå paraboloiden motsvarar σ=1 och den gula halvplanet motsvarar φ=-60°. De tre ytorna skär varandra i punkten P (visas som en svart sfär) med kartesiska koordinater ungefär (1,0, -1,732, 1,5).

De tvådimensionella paraboliska koordinaterna utgör grunden för två uppsättningar av tredimensionella ortogonala koordinater . De paraboliska cylindriska koordinaterna produceras genom att projicera i $z$ -riktningen. Rotation kring parabolernas symmetriaxel producerar en uppsättning konfokala paraboloider, koordinatsystemet av tredimensionella paraboliska koordinater. Uttryckt i termer av kartesiska koordinater:

$x=\sigma \tau \cos \varphi$

$y=\sigma \tau \sin \varphi$

$z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$

där parabolerna nu är i linje med $z$ -axeln, kring vilken rotationen utfördes. Därför är azimutvinkeln $\phi$ definierad

$\tan \varphi ={\frac {y}{x}}$

Ytorna på konstanten $\sigma$ bildar konfokala paraboloider

$2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

som öppnar sig uppåt (dvs mot $+z$ ) medan ytorna på konstanten $\tau$ bildar konfokala paraboloider

$2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{ 2}$

som öppnas nedåt (dvs mot $-z$ ). Fokus för alla dessa paraboloider är belägna vid ursprunget.

Den riemannska metriska tensorn associerad med detta koordinatsystem är

$g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\ 0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}$

Tredimensionella skalfaktorer

De tredimensionella skalfaktorerna är:

$h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{ \tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{\varphi }=\sigma \tau$

Man ser att skalfaktorerna $h_{\sigma }$ och $h_{\tau }$ är desamma som i det tvådimensionella fallet. Det infinitesimala volymelementet är då

$\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

och Laplacianen ges av

$_ \displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{ 2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$

Andra differentialoperatorer som $\nabla \cdot \mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ kan uttryckas i koordinaterna $(\sigma ,\tau ,\phi )$ genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formler som finns i ortogonala koordinater .

Se även

• Paraboliska cylindriska koordinater
• Ortogonalt koordinatsystem
• Krökta koordinater

Bibliografi

•    Morse PM , Feshbach H (1953). Metoder för teoretisk fysik, del I. New York: McGraw-Hill. sid. 660. ISBN 0-07-043316-X . LCCN 52011515 .
•   Margenau H , Murphy GM (1956). Fysikens och kemiens matematik . New York: D. van Nostrand. s. 185–186 . LCCN 55010911 .
•   Korn GA, Korn TM (1961). Matematisk handbok för vetenskapsmän och ingenjörer . New York: McGraw-Hill. sid. 180. LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
•   Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . New York: Springer Verlag. sid. 96. LCCN 67025285 .
•   Zwillinger D (1992). Handbok för integration . Boston, MA: Jones och Bartlett. sid. 114. ISBN 0-86720-293-9 . Samma som Morse & Feshbach (1953), som ersätter u _k med ξ _k .
•   Moon P, Spencer DE (1988). "Paraboliska koordinater (μ, ν, ψ)". Fältteorihandbok, inklusive koordinatsystem, differentialekvationer och deras lösningar (korrigerad 2:a upplagan, 3:e upplagan). New York: Springer-Verlag. s. 34–36 (tabell 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2 .

externa länkar

• "Paraboliska koordinater" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld beskrivning av paraboliska koordinater