Paraboloidala koordinater

Paraboloidala koordinater är tredimensionella ortogonala koordinater $(\mu ,\nu ,\lambda )$ som generaliserar tvådimensionella paraboliska koordinater . De har elliptiska paraboloider som en-koordinata ytor. Som sådana bör de särskiljas från paraboliska cylindriska koordinater och paraboliska rotationskoordinater , som båda också är generaliseringar av tvådimensionella paraboliska koordinater. Koordinatytorna på de förra är paraboliska cylindrar, och de senares koordinatytor är cirkulära paraboloider.

Till skillnad från cylindriska och roterande paraboliska koordinater, men på samma sätt som de relaterade ellipsoidala koordinaterna, produceras inte koordinatytorna för det paraboloidala koordinatsystemet genom att rotera eller projicera något tvådimensionellt ortogonalt koordinatsystem.

Koordinatytor för de tredimensionella paraboloidala koordinaterna.

Grundläggande formler

De kartesiska koordinaterna $(x,y,z)$ kan produceras från de ellipsoidala koordinaterna $(\mu ,\nu ,\lambda )$ av ekvationerna

$x^{2}={\frac {4}{bc}}(\mu -b)(b- \nu )(b-\lambda )$

$y^{2}={\frac {4}{bc} }(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)$

$z=\mu +\nu +\lambda -bc$

med

$\mu >b>\lambda >c>\nu >0$

Följaktligen är ytor med konstant $\mu$ nedåtgående elliptiska paraboloider:

${\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}} {\mu -c}}=-4(z-\mu)$

är ytor med konstant $\nu$ uppåtgående elliptiska paraboloider,

${\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{ c-\nu }}=4(z-\nu )$

medan ytor med konstant $\lambda$ är hyperboliska paraboloider:

${\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{ \lambda -c}}=4(z-\lambda )$

Skalfaktorer

Skalfaktorerna för de paraboloidala koordinaterna $(\mu ,\nu ,\lambda )$ är

$h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu - \nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\höger]^{1/2}$

$h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu - \nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\höger]^{1/2}$

$h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda - \nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}$

Därför är det oändliga volymelementet

$dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b) (\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\ nu$

Differentialoperatörer

Vanliga differentialoperatorer kan uttryckas i koordinaterna $(\mu ,\nu ,\lambda )$ genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formlerna för dessa operatorer , som är tillämpliga på alla tre- dimensionella ortogonala koordinater. Till exempel är gradientoperatorn

$=\bla \left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right )}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\ nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\höger]^{1/2}\ mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right )}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac { \partial }{\partial \lambda }}}$

och Laplacian är

${\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left (\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\ mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac { \left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\höger]^ {1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac { \partial }{\partial \nu }}\höger]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\ lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\ lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}$

Ansökningar

Paraboloidala koordinater kan vara användbara för att lösa vissa partiella differentialekvationer . Till exempel Laplace-ekvationen och Helmholtz-ekvationen båda separerbara i paraboloidala koordinater. Därför kan koordinaterna användas för att lösa dessa ekvationer i geometrier med paraboloidal symmetri, dvs med randvillkor specificerade på sektioner av paraboloider.

Helmholtz-ekvationen är $(\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0$ . Med $\psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )$ är de separerade ekvationerna

${\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2} }\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3} \mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}} }+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu}}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2} \Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\ lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}$

där $\alpha _{2}$ och $\alpha _{3}$ är de två separationskonstanterna. På liknande sätt kan de separerade ekvationerna för Laplace-ekvationen erhållas genom att sätta $k=0$ ovan.

Var och en av de separerade ekvationerna kan gjutas i form av Baer-ekvationen . Direkt lösning av ekvationerna är dock svår, delvis eftersom separationskonstanterna $\alpha _{2}$ och $\alpha _{3}$ förekommer samtidigt i alla tre ekvationerna.

Enligt ovanstående tillvägagångssätt har paraboloidala koordinater använts för att lösa det elektriska fältet som omger en ledande paraboloid.

Bibliografi

•   Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Separerbara gränsvärdeproblem i fysik . Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-41020-0 .
•    Morse PM , Feshbach H (1953). Metoder för teoretisk fysik, del I. New York: McGraw-Hill. sid. 664. ISBN 0-07-043316-X . LCCN 52011515 .
•   Margenau H , Murphy GM (1956). Fysikens och kemiens matematik . New York: D. van Nostrand. s. 184 –185. LCCN 55010911 .
•   Korn GA, Korn TM (1961). Matematisk handbok för vetenskapsmän och ingenjörer . New York: McGraw-Hill. sid. 180 . LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Arfken G (1970). Matematiska metoder för fysiker (2:a uppl.). Orlando, FL: Academic Press. s. 119–120.
•   Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . New York: Springer Verlag. sid. 98. LCCN 67025285 .
•   Zwillinger D (1992). Handbok för integration . Boston, MA: Jones och Bartlett. sid. 114. ISBN 0-86720-293-9 . Samma som Morse & Feshbach (1953), som ersätter u _k med ξ _k .
•   Moon P, Spencer DE (1988). "Paraboloidala koordinater (μ, ν, λ)". Fältteorihandbok, inklusive koordinatsystem, differentialekvationer och deras lösningar (korrigerad 2:a upplagan, 3:e tryckta upplagan). New York: Springer-Verlag. s. 44–48 (tabell 1.11). ISBN 978-0-387-18430-2 .

externa länkar

• MathWorld beskrivning av konfokala paraboloidala koordinater