Elliptiskt koordinatsystem

Ej att förväxla med ekliptiskt koordinatsystem .

Elliptiskt koordinatsystem

Inom geometri är det elliptiska koordinatsystemet ett tvådimensionellt ortogonalt koordinatsystem där koordinatlinjerna är konfokala ellipser och hyperboler . De två fokuserna $F_{1}$ och F $\displaystyle F_{2}}$ anses i allmänhet vara fixerade till $-a$ respektive ${\displaystyle +a} .$ , på $x$ -axeln i det kartesiska koordinatsystemet .

Grundläggande definition

Den vanligaste definitionen av elliptiska koordinater $(\mu ,\nu )$ är

${\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}$

där $\mu$ är ett icke-negativt reellt tal och $\nu \i [0,2\pi ].$

På det komplexa planet är ett likvärdigt förhållande

$x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu)$

Dessa definitioner motsvarar ellipser och hyperboler. Den trigonometriska identiteten

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2 }\nu =1$

visar att kurvor med konstant $\mu$ bildar ellipser , medan den hyperboliska trigonometriska identiteten

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2 }\mu =1$

visar att kurvor med konstant $\nu$ bildar hyperboler .

Skalfaktorer

I ett ortogonalt koordinatsystem är längden på basvektorerna kända som skalfaktorer. Skalfaktorerna för de elliptiska koordinaterna $(\mu ,\nu )$ är lika med

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2 }\mu -\cos ^{2}\nu }}.$

Genom att använda dubbla argumentidentiteter för hyperboliska funktioner och trigonometriska funktioner kan skalfaktorerna uttryckas ekvivalent som

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.$

Följaktligen är ett oändligt litet element av area lika med

${\begin{aligned}dA&=h_{\mu }h_{\nu }d\mu d\nu \\&=a^{ 2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&=a^{2}\left(\cosh ^{2}\ mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu \\&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\ nu \right)d\mu d\nu \end{aligned}}$

och Laplacianen läser

$_ aligned}\nabla ^{2}\Phi &={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\ vänster({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}} }\right)\\&={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\ frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right) \\&={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Andra differentialoperatorer som $\nabla \cdot \mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ kan uttryckas i koordinaterna ${ \displaystyle (\mu ,\nu )}$ genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formlerna som finns i ortogonala koordinater .

Alternativ definition

En alternativ och geometriskt intuitiv uppsättning elliptiska koordinater $(\sigma ,\tau )$ används ibland, där $\sigma =\cosh \mu$ och $\tau =\cos \nu$ . Därför är kurvorna för konstanten $\sigma$ ellipser, medan kurvorna för konstanten $\tau$ är hyperboler. Koordinaten $\tau$ måste tillhöra intervallet [-1, 1], medan $\sigma$ -koordinaten måste vara större än eller lika med ett.

Koordinaterna $(\sigma ,\tau )$ har en enkel relation till avstånden till brännpunkterna $F_{1}$ och $F_{2}$ . För vilken punkt som helst i planet är summan d $\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ av dess avstånd till brännpunkterna lika med $2a\sigma$ , medan deras skillnad $d_{1}-d_{2}$ är lika med $2a\tau$ . Således är avståndet till $F_{1}$$a(\sigma +\tau )$ , medan avståndet till $F_{2}$ är $a(\sigma -\tau )$ . (Kom ihåg att $F_{1}$ och $F_{2}$ är placerade vid $x=-a$ och $x=+ a$ , respektive.)

En nackdel med dessa koordinater är att punkterna med kartesiska koordinater (x,y) och (x,-y) har samma koordinater $(\sigma ,\tau )$ , så omvandlingen till kartesisk koordinater är inte en funktion, utan en multifunktion .

$x=a\left.\sigma \right.\tau$

$y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right).$

Alternativa skalfaktorer

Skalfaktorerna för de alternativa elliptiska koordinaterna $(\sigma ,\tau )$ är

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2 }-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.$

Därför blir elementet infinitesimal area

$dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^ {2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau$

och Laplacian lika

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\vänster[{\ sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \ Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1- \tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].$

Andra differentialoperatorer som $\nabla \cdot \mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ kan uttryckas i koordinaterna ${ \displaystyle (\sigma ,\tau )}$ genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formlerna som finns i ortogonala koordinater .

Extrapolering till högre dimensioner

Elliptiska koordinater utgör grunden för flera uppsättningar av tredimensionella ortogonala koordinater :

1. De elliptiska cylindriska koordinaterna produceras genom att projicera i $z$ -riktningen.
2. De prolata sfäroidala koordinaterna produceras genom att de elliptiska koordinaterna roteras kring $x$ -axeln, dvs axeln som förbinder brännpunkterna, medan de oblate sfäroidala koordinaterna framställs genom att rotera de elliptiska koordinaterna kring $y$ -axel, dvs axeln som skiljer brännpunkterna åt.
3. Ellipsoidala koordinater är en formell förlängning av elliptiska koordinater till 3-dimensioner, som är baserad på konfokala ellipsoider, hyperboloider av ett och två ark.

Ansökningar

De klassiska tillämpningarna av elliptiska koordinater är att lösa partiella differentialekvationer , t.ex. Laplaces ekvation eller Helmholtz-ekvationen , för vilka elliptiska koordinater är en naturlig beskrivning av ett system som därmed tillåter en separation av variabler i de partiella differentialekvationerna . Några traditionella exempel är lösningssystem som elektroner som kretsar kring en molekyl eller planetariska banor som har en elliptisk form.

De geometriska egenskaperna hos elliptiska koordinater kan också vara användbara. Ett typiskt exempel kan involvera en integration över alla par av vektorer $\mathbf {p}$ och $\mathbf {q}$ som summerar till en fast vektor $\mathbf { r} =\mathbf {p} +\mathbf {q}$ , där integranden var en funktion av vektorlängderna $\left|\mathbf {p} \right|$ och $\left|\mathbf {q} \right|$ . (I ett sådant fall skulle man placera $\mathbf {r}$ mellan de två brännpunkterna och i linje med $x$ -axeln, dvs. $\mathbf { r} =2a\mathbf {\hat {x}}$ .) För att vara konkret, $\mathbf {r}$ , $\mathbf {p}$ och $\mathbf {q}$ kan representera momentan för en partikel respektive dess nedbrytningsprodukter, och integranden kan involvera produkternas kinetiska energier (som är proportionella mot momentets kvadratiska längder).

Se även

• Krökta koordinater
• Ellipsoidala koordinater
• Generaliserade koordinater

• "Elliptiska koordinater" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA och Korn TM . (1961) Matematisk handbok för forskare och ingenjörer, McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Elliptiska cylindriska koordinater." Från MathWorld — En Wolfram webbresurs. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html