Koordinatytor för de koniska koordinaterna. Konstanterna
b och
c valdes som 1 respektive 2. Den röda sfären representerar
r = 2 , den blå elliptiska könen i linje med den vertikala
z -axeln representerar μ=cosh(1) och den gula elliptiska könen i linje med den (gröna)
x -axeln motsvarar
ν 2 = 2/3 . De tre ytorna skär varandra i punkten
P (visas som en svart sfär) med
kartesiska koordinater ungefär (1,26, -0,78, 1,34). De elliptiska konerna skär sfären i
sfäriska koner .
Koniska koordinater , ibland kallade sfäro-konala eller sfäro-koniska koordinater, är ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som består av koncentriska sfärer (beskrivna av deras radie r ) och av två familjer av vinkelräta elliptiska koner, inriktade längs z x sfärisk konisk .
Grundläggande definitioner
De koniska koordinaterna
( r , μ , ν )
{\displaystyle (r,\mu ,\nu )}
x =
r μ ν
b c
{\displaystyle x={\frac {r\mu \nu }{bc}}}
y =
r b
(
μ
2
−
b
2
)
(
ν
2
−
b
2
)
(
b
2
−
c
2
)
{\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2 }-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}}
z =
r c
(
μ
2
−
c
2
)
(
ν
2
−
c
2
)
(
c
2
−
b
2
)
{\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left (\nu ^{2}-c^{2}\höger)}{\left(c^{2}-b^{2}\höger)}}}}
med följande begränsningar för koordinaterna
ν
2
<
c
2
<
μ
2
<
b
2
.
{\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}
Ytor med konstant r är sfärer med den radien centrerad på origo
x
2
+
y
2
+
z
2
=
r
2
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}
medan ytor med konstant
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
x
2
μ
2
+
y
2
μ
2
−
b
2
+
z
2
μ
2
−
c
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^ {2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}
och
x
2
ν
2
+
y
2
ν
2
−
b
2
+
z
2
ν
2
−
c
2
= 0.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac { y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0. }
I detta koordinatsystem är både Laplaces ekvation och Helmholtz-ekvationen separerbara.
Skalfaktorer
Skalfaktorn för radien r är ett ( h r = 1 sfäriska koordinater . Skalfaktorerna för de två koniska koordinaterna är
h
μ
= r
μ
2
−
ν
2
(
b
2
−
μ
2
)
(
μ
2
−
c
2
)
{\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^ {2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}
och
h
ν
= r
μ
2
−
ν
2
(
b
2
−
ν
2
)
(
c
2
−
ν
2
)
.
{\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right) \left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.}
Bibliografi
Morse PM , Feshbach H (1953). Metoder för teoretisk fysik, del I. New York: McGraw-Hill. sid. 659. ISBN 0-07-043316-X LCCN 52011515 .
Margenau H , Murphy GM (1956). Fysikens och kemiens matematik 183 –184. LCCN 55010911 .
Korn GA, Korn TM (1961). Matematisk handbok för vetenskapsmän och ingenjörer . New York: McGraw-Hill. sid. 179. LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . New York: Springer Verlag. s. 991–100. LCCN 67025285 .
Arfken G (1970). Matematiska metoder för fysiker (2:a uppl.). Orlando, FL: Academic Press. s. 118–119. ASIN B000MBRNX4.
Moon P, Spencer DE (1988). "Koniska koordinater (r, θ, λ)". Fältteorihandbok, inklusive koordinatsystem, differentialekvationer och deras lösningar (korrigerad 2:a upplagan, 3:e tryckta upplagan). New York: Springer-Verlag. s. 37–40 (tabell 1.09). ISBN 978-0-387-18430-2
externa länkar
Tvådimensionell
Tredimensionell
