Bisfäriska koordinater

Illustration av bisfäriska koordinater, som erhålls genom att rotera ett tvådimensionellt bipolärt koordinatsystem runt axeln som förenar dess två brännpunkter. Foci är belägna på avstånd 1 från den vertikala z -axeln. Den röda självskärande torusen är σ=45° isoytan, den blå sfären är τ=0,5 isoytan och det gula halvplanet är φ=60° isoytan. Det gröna halvplanet markerar x - z- planet, från vilket φ mäts. Den svarta punkten ligger i skärningspunkten mellan de röda, blå och gula isoytorna, vid kartesiska koordinater ungefär (0,841, -1,456, 1,239).

Bisfäriska koordinater är ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som är ett resultat av att det tvådimensionella bipolära koordinatsystemet roteras runt axeln som förbinder de två brännpunkterna. Således förblir de två fokuserna $F_{1}$ och $F_{2}$ i bipolära koordinater punkter (på $z$ -axeln, rotationsaxeln) i bisfäriskt koordinatsystem.

Definition

Den vanligaste definitionen av bisfäriska koordinater $(\tau ,\sigma ,\phi )$ är

$_ displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \ sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{ Justerat}}}$

där $\sigma$ -koordinaten för en punkt $P$ är lika med vinkeln $F_{1}PF_{2}$ och $\tau$ -koordinaten är lika med den naturliga logaritmen för förhållandet mellan avstånden $d_{1}$ och $d_{2}$ till brännpunkterna

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

Koordinatområdena är -∞ < $\tau$ < ∞, 0 ≤ $\sigma$ ≤ $\pi$ och 0 ≤ $\phi$ ≤ 2 $\pi$ .

Koordinera ytor

Ytor med konstant $\sigma$ motsvarar korsande tori med olika radier

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

att alla passerar genom brännpunkterna men inte är koncentriska. Ytorna på konstanten $\tau$ är icke-korsande sfärer med olika radier

$\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(za\ coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

som omger brännpunkterna. Centrum för konstant- $\tau$ -sfärerna ligger längs $z$ -axeln, medan konstant- $\sigma$ tori är centrerade i $xy$ -planet .

Inversa formler

Formlerna för den inversa transformationen är:

${\begin{aligned}\sigma &=\arccos \left ({\dfrac {R^{2}-a^{2}}{Q}}\höger),\\\tau &=\operatörsnamn {arsinh} \left({\dfrac {2az}{Q}}\ höger),\\\phi &=\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right),\end{aligned}}$

där ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ och ${\textstyle Q={\sqrt {\left(R^{2}+a^{2}\right)^{2}-\left(2az\right)^{2}}}.}$

Skalfaktorer

Skalfaktorerna för de bisfäriska koordinaterna $\sigma$ och $\tau$ är lika

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

medan den azimutala skalfaktorn är lika med

$h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Således är elementet med oändligt liten volym lika med

$dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{\left(\cosh \ tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$

och Laplacian ges av

${\begin ^{2} \frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}&\left[{\frac {\partial }{\partial \ sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)\right.\ \[8pt]&{}\quad +\left.\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}} {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]\end{aligned}}$

Andra differentialoperatorer som $\nabla \cdot \mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ kan uttryckas i koordinaterna ${ \displaystyle (\sigma ,\tau )}$ genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formlerna som finns i ortogonala koordinater .

Ansökningar

De klassiska tillämpningarna av bisfäriska koordinater är att lösa partiella differentialekvationer , t.ex. Laplaces ekvation , för vilka bisfäriska koordinater tillåter en separation av variabler . Helmholtz-ekvationen är dock inte separerbar i bisfäriska koordinater. Ett typiskt exempel skulle vara det elektriska fältet som omger två ledande sfärer med olika radier.

Bibliografi

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metoder för teoretisk fysik, del I. New York: McGraw-Hill. s. 665–666.
•   Korn GA, Korn TM (1961). Matematisk handbok för vetenskapsmän och ingenjörer . New York: McGraw-Hill. sid. 182. LCCN 59014456 .
•   Zwillinger D (1992). Handbok för integration . Boston, MA: Jones och Bartlett. sid. 113. ISBN 0-86720-293-9 .
•   Moon PH, Spencer DE (1988). "Bisfäriska koordinater (η, θ, ψ)". Fältteorihandbok, inklusive koordinatsystem, differentialekvationer och deras lösningar (korrigerad 2:a upplagan, 3:e tryckta upplagan). New York: Springer Verlag. s. 110–112 (avsnitt IV, E4Rx). ISBN 0-387-02732-7 .

externa länkar

• MathWorld beskrivning av bisfäriska koordinater