Parabolcylinderfunktion

Koordinata ytor av paraboliska cylindriska koordinater. Parabolcylinderfunktioner uppstår när separation av variabler används på Laplaces ekvation i dessa koordinater

Plotta den paraboliska cylinderfunktionen D v(z) med v=5 i det komplexa planet från -2-2i till 2+2i med färger skapade med Mathematica 13.1-funktionen ComplexPlot3D

Inom matematiken är parabolcylinderfunktionerna specialfunktioner definierade som lösningar till differentialekvationen

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left( {\tilde {a}}z^{2}+{\tilde {b}}z+{\tilde {c}}\right)f=0.$

 

 

 

 

()

Denna ekvation hittas när tekniken för separation av variabler används på Laplaces ekvation när den uttrycks i paraboliska cylindriska koordinater .

Ovanstående ekvation kan föras in i två distinkta former (A) och (B) genom att fylla i kvadraten och skala om z , kallade HF Webers ekvationer:

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}-\left({\tfrac {1}{ 4}}z^{2}+a\right)f=0$

 

 

 

 

()

och

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left({\tfrac {1 }{4}}z^{2}-a\right)f=0.$

 

 

 

 

()

Om

$$f(a,z)$$

är en lösning, så är det också

$$f(a,-z),f(-a,iz){\text{ och }}f(-a,-iz).$$

Om

$$f(a,z)\,$$

är en lösning av ekvation ( A ), alltså

$$f(-ia,ze^{(1/4)\pi i})$$

är en lösning av ( B ), och genom symmetri,

$$f(-ia,-ze^{(1/4)\pi i}),f(ia,-ze^{-(1/4)\pi i}){\text{ och } }f(ia,ze^{-(1/4)\pi i})$$

är också lösningar av ( B ).

Lösningar

Det finns oberoende jämna och udda lösningar av formen ( A ). Dessa ges av (efter notationen av Abramowitz och Stegun (1965)):

$$y_{1}(a ;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{4}} ;\;{\tfrac {1}{2}}\;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {även} )$$

och

$$y_{2}(a ;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {3}{4} };\;{\tfrac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\höger)\,\,\,\,\,\,(\ mathrm {udda} )$$

där $\;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)$ är den sammanflytande hypergeometriska funktionen .

Andra par av oberoende lösningar kan bildas från linjära kombinationer av ovanstående lösningar. Ett sådant par är baserat på deras beteende i oändligheten:

$$U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\ Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2} (a,z)\höger]$$

$$V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2 -a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\höger]$$

var

$$\xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.$$

Funktionen U ( a , z ) närmar sig noll för stora värden på z och |arg( z )| < π /2 , medan V ( a , z ) divergerar för stora värden på positiva reella z .

$$\lim _{z\to \infty }U(a,z)/e^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{för}} \,\left|\arg(z)\right|<\pi /2)$$

och

$$\lim _{z\to \infty }V(a,z)/{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{z^{2}/4}z^{a -1/2}=1\,\,\,\,({\text{för}}\,\arg(z)=0).$$

För halvheltalsvärden av a kan dessa (det vill säga U och V ) återuttryckas i termer av hermitpolynom ; alternativt kan de också uttryckas i termer av Bessel-funktioner .

Funktionerna U och V kan också relateras till funktionerna D _p ( x ) (en notation som går tillbaka till Whittaker (1902)) som i sig ibland kallas paraboliska cylinderfunktioner:

$${\begin{aligned}U(a,x)&=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),\\V(a,x)&={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x) +D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)].\end{aligned}}$$

Funktion D _a ( z ) introducerades av Whittaker och Watson som en lösning av ekv.~( 1 ) med ${\textstyle {\tilde {a} }=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}} avgränsad till$ + $\ displaystyle +\infty }$ . Det kan uttryckas i termer av konfluenta hypergeometriska funktioner som

$D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}e^{-{\frac {z^{2}}{4 }}}\left(\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{ 1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+ {\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\, _{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^ {2}}{2}}\right)\right)}.$

Effektserier för denna funktion har erhållits av Abadir (1993).