Log-polära koordinater

Inom matematiken är log-polära koordinater (eller logaritmiska polära koordinater ) ett koordinatsystem i två dimensioner, där en punkt identifieras med två siffror, en för logaritmen av avståndet till en viss punkt, och en för en vinkel . Log-polära koordinater är nära förbundna med polära koordinater , som vanligtvis används för att beskriva domäner i planet med någon sorts rotationssymmetri . Inom områden som harmonisk och komplex analys är de log-polära koordinaterna mer kanoniska än polära koordinater.

Definition och koordinera transformationer

Log-polära koordinater i planet består av ett par reella tal (ρ,θ), där ρ är logaritmen för avståndet mellan en given punkt och origo och θ är vinkeln mellan en referenslinje ( x -axeln) ) och linjen genom origo och punkt. Vinkelkoordinaten är densamma som för polära koordinater, medan den radiella koordinaten transformeras enligt regeln

r=e^{\rho }

.

där $r$ är avståndet till origo. Formlerna för transformation från kartesiska koordinater till log-polära koordinater ges av

{\begin{cases}\rho =\ln \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right),\\\theta =\operatörsnamn {atan2} (y ,\,x).\end{cases}}

och formlerna för transformation från log-polära till kartesiska koordinater är

{\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}

Genom att använda komplexa tal ( x , y ) = x + iy , kan den senare transformationen skrivas som

x+iy=e^{\rho +i\theta }

dvs den komplexa exponentialfunktionen. Av detta följer att grundläggande ekvationer i harmonisk och komplex analys kommer att ha samma enkla form som i kartesiska koordinater. Detta är inte fallet för polära koordinater.

Några viktiga ekvationer i log-polära koordinater

Laplaces ekvation

Laplaces ekvation i två dimensioner ges av

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}}=0

i kartesiska koordinater. Att skriva samma ekvation i polära koordinater ger den mer komplicerade ekvationen

r{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\ partiell r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0

eller motsvarande

\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}u+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0

Av relationen $r=e^{\rho }$ följer dock att $r{\frac {\partial }{\partial r}}= {\frac {\partial }{\partial \rho }}$ så Laplaces ekvation i log-polära koordinater,

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2 }u}{\partial \theta ^{2}}}=0

har samma enkla uttryck som i kartesiska koordinater. Detta gäller för alla koordinatsystem där omvandlingen till kartesiska koordinater ges av en konform avbildning . När man betraktar Laplaces ekvation för en del av planet med rotationssymmetri, t.ex. en cirkulär skiva, är log-polära koordinater det naturliga valet.

Cauchy–Riemanns ekvationer

En liknande situation uppstår när man överväger analytiska funktioner . En analytisk funktion $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ skriven i Kartesiska koordinater uppfyller Cauchy-Riemanns ekvationer:

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

Om funktionen istället uttrycks i polär form $f(re^{i\theta })=Re^{i\Phi }$ tar Cauchy–Riemann-ekvationerna den mer komplicerade formen

r{\frac {\partial \log R}{\partial r}} frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi } {\partial r}},

Precis som i fallet med Laplaces ekvation, återvinns den enkla formen av kartesiska koordinater genom att ändra polära till log-polära koordinater (låt ${\displaystyle P=\log R} )$ :

{\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\ partiell \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}

Cauchy–Riemann-ekvationerna kan också skrivas i en enda ekvation som

\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y }}\right)f(x+iy)=0

Genom att uttrycka ${\frac {\partial }{\partial x}}$ och ${\frac {\partial }{\partial y}}$ i termer av ${\frac {\partial }{\partial \rho }}$ och ${\frac {\partial }{\partial \theta }}$ denna ekvation kan skrivas på motsvarande form

\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}+i{\frac {\partial }{\ partiell \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0

Eulers ekvation

När man vill lösa Dirichlet-problemet i en domän med rotationssymmetri är det vanliga att använda metoden för separation av variabler för partiella differentialekvationer för Laplaces ekvation i polär form. Det betyder att du skriver $u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$ . Laplaces ekvation delas sedan upp i två vanliga differentialekvationer

{\begin{cases}\Theta ''( \theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0 \end{cases}}

där $\nu$ är en konstant. Den första av dessa har konstanta koefficienter och är lätt att lösa. Det andra är ett specialfall av Eulers ekvation

r^{2}R''(r)+crR'(r)+dR(r)=0

där $c,d$ är konstanter. Denna ekvation löses vanligtvis med ansatz ${\displaystyle R(r)=r^{\lambda }} ,$ men genom användning av log-polär radie kan den ändras till en ekvation med konstanta koefficienter :

P''(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0

När man betraktar Laplaces ekvation, $c=1$ och $d=-\nu ^{2}$ så ekvationen för $r$ har den enkla formen

P''(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0

När du löser Dirichlet-problemet i kartesiska koordinater är dessa exakta ekvationer för $x$ och $y$ . Således är återigen det naturliga valet för en domän med rotationssymmetri inte polära, utan snarare log-polära, koordinater.

Diskret geometri

Diskret koordinatsystem i en cirkulär skiva givet av log-polära koordinater ( n = 25)

Diskret koordinatsystem i en cirkulär skiva som lätt kan uttryckas i log-polära koordinater ( n = 25)

Del av en Mandelbrot fraktal som visar spiralbeteende

För att lösa en PDE numeriskt i en domän måste ett diskret koordinatsystem införas i denna domän. Om domänen har rotationssymmetri och du vill ha ett rutnät bestående av rektanglar är polära koordinater ett dåligt val, eftersom det i mitten av cirkeln ger upphov till trianglar snarare än rektanglar. Detta kan dock åtgärdas genom att införa log-polära koordinater på följande sätt. Dela upp planet i ett rutnät av kvadrater med sidlängden 2 $\pi$ / n , där n är ett positivt heltal. Använd den komplexa exponentialfunktionen för att skapa ett log-polärt rutnät i planet. Det vänstra halvplanet avbildas sedan på enhetsskivan, med antalet radier lika med n . Ännu mer fördelaktigt kan det vara att istället kartlägga diagonalerna i dessa rutor, vilket ger ett diskret koordinatsystem i enhetsskivan bestående av spiraler, se figuren till höger.

Dirichlet-till-Neumann-operatör

Det sistnämnda koordinatsystemet är till exempel lämpligt för att hantera Dirichlet och Neumann problem. Om det diskreta koordinatsystemet tolkas som en oriktad graf i enhetsskivan kan det betraktas som en modell för ett elektriskt nätverk. Till varje linjesegment i grafen är associerad en konduktans som ges av en funktion $\gamma$ . Det elektriska nätverket kommer då att fungera som en diskret modell för Dirichlet-problemet i enhetsskivan, där Laplace-ekvationen tar formen av Kirchhoffs lag. På noderna på cirkelns gräns definieras en elektrisk potential (Dirichlet-data), som inducerar en elektrisk ström (Neumann-data) genom gränsnoderna. Den linjära operatorn $\Lambda _{\gamma }$ från Dirichlet-data till Neumann-data kallas en Dirichlet-till-Neumann-operator och beror på nätverkets topologi och konduktans.

I fallet med den kontinuerliga skivan följer det att om konduktansen är homogen, låt oss säga $\gamma =1$ överallt, så uppfyller Dirichlet-till-Neumann-operatorn följande ekvation

\Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\ }{\partial \theta ^{2}}}=0

För att få en bra diskret modell av Dirichlet-problemet skulle det vara användbart att hitta en graf i enhetsskivan vars (diskreta) Dirichlet-till-Neumann-operator har samma egenskap. Även om polära koordinater inte ger oss något svar, är detta ungefärligt/asymptotiskt vad det rotationssymmetriska nätverket som ges av log-polära koordinater ger oss.

Bildanalys

Redan i slutet av 1970-talet ansöktes om det diskreta spiralkoordinatsystemet inom bildanalys ( bildregistrering) . Att representera en bild i detta koordinatsystem snarare än i kartesiska koordinater, ger beräkningsfördelar när man roterar eller zoomar in en bild. Dessutom är fotoreceptorerna i näthinnan i det mänskliga ögat fördelade på ett sätt som har stora likheter med spiralkoordinatsystemet. Den kan också hittas i Mandelbrot-fraktalen (se bilden till höger).

Log-polära koordinater kan också användas för att konstruera snabba metoder för Radontransformen och dess invers.

Se även

externa länkar

Webbplats för icke-newtonsk kalkyl