Bipolära koordinater

Se även: två-center bipolära koordinater

Bipolärt koordinatsystem

Bipolära koordinater är ett tvådimensionellt ortogonalt koordinatsystem baserat på de apolloniska cirklarna . Förvirrande nog används samma term också ibland för två-center bipolära koordinater . Det finns också ett tredje system, baserat på två poler ( biangulära koordinater) .

Termen "bipolär" används vidare ibland för att beskriva andra kurvor som har två singulära pekar (foci), såsom ellipser , hyperboler och Cassini-ovaler . Termen bipolära koordinater är dock reserverad för koordinaterna som beskrivs här, och används aldrig för system som är associerade med de andra kurvorna, såsom elliptiska koordinater .

Geometrisk tolkning av de bipolära koordinaterna. Vinkeln σ bildas av de två brännpunkterna och punkten P , medan τ är logaritmen för förhållandet mellan avstånden till brännpunkterna. Motsvarande cirklar med konstant σ och τ visas i rött respektive blått och möts i räta vinklar (magenta låda); de är ortogonala.

Definition

   Systemet är baserat på två foci F ₁ och F ₂ . Med hänvisning till figuren till höger är σ -koordinaten för en punkt P lika med vinkeln F ₁ P F ₂ , och τ -koordinaten är lika med den naturliga logaritmen för förhållandet mellan avstånden d ₁ och d ₂ :

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$

Om, i det kartesiska systemet, brännpunkterna antas ligga vid (− a , 0) och ( a , 0), är koordinaterna för punkten P

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau - \cos \sigma }}.$

   Koordinaten τ sträcker sig från $-\infty$ (för punkter nära F ₁ ) till $\infty$ (för punkter nära F ₂ ). Koordinaten σ definieras endast modulo 2π , och tas bäst att sträcka sig från -π till π , genom att ta den som negativ av den spetsiga vinkeln F ₁ P F ₂ om P är i det nedre halvplanet.

Bevis på att koordinatsystemet är ortogonalt

Ekvationerna för x och y kan kombineras för att ge

$x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right).$

Denna ekvation visar att σ och τ är de reella och imaginära delarna av en analytisk funktion av x+iy (med logaritmiska grenpunkter vid brännpunkterna), vilket i sin tur bevisar (genom att vädja till den allmänna teorin om konform kartläggning ) ( Cauchy- Riemann-ekvationer ) att dessa speciella kurvor för σ och τ skär varandra i räta vinklar, dvs att koordinatsystemet är ortogonalt.

Kurvor av konstant σ och τ

Kurvorna för konstant σ motsvarar icke-koncentriska cirklar

$x^{2}+\left(ya\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^ {2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

som skär varandra vid de två brännpunkterna. Centrum för konstant- σ cirklarna ligger på y -axeln. Cirklar med positiv σ är centrerad ovanför x -axeln, medan de med negativ σ ligger under axeln. Som magnituden | σ |- π /2 minskar, cirklarnas radie minskar och centrum närmar sig origo (0, 0), vilket nås när | σ | = π /2. (Från elementär geometri är alla trianglar på en cirkel med 2 hörn på motsatta ändar av en diameter räta trianglar.)

Kurvorna för konstanten $\tau$ är icke-korsande cirklar med olika radier

$y^{2}+\left(xa\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^ {2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

som omger brännpunkterna men återigen inte är koncentriska. Centrum för konstant- τ cirklarna ligger på x -axeln. Cirklarna med positiv τ ligger på planets högra sida ( x > 0), medan cirklarna med negativ τ ligger på planets vänstra sida ( x < 0). Kurvan τ = 0 motsvarar y -axeln ( x = 0). När storleken på τ ökar, minskar radien på cirklarna och deras centrum närmar sig brännpunkterna.

Ömsesidiga relationer

Övergången från de kartesiska koordinaterna till de bipolära koordinaterna kan göras via följande formler:

$\tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a )^{2}+y^{2}}{(xa)^{2}+y^{2}}}$

och

$\pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^ {2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.$

Koordinaterna har också identiteterna:

$\tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}$

och

$\tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.$

vilket är gränsen man skulle få ax = 0 från definitionen i avsnittet ovan. Och alla gränser ser ganska vanliga ut vid x =0.

Skalfaktorer

För att erhålla skalfaktorerna för bipolära koordinater tar vi differentialen i ekvationen för ${\displaystyle x+iy} ,$ vilket ger

$dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).$

Multiplicering av denna ekvation med dess komplexa konjugat ger

$(dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\ bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2 }}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.$

Genom att använda de trigonometriska identiteterna för produkter av sinus och cosinus får vi

$2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl ( }\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,$

därav följer att

$(dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.$

Därför är skalfaktorerna för σ och τ lika, och ges av

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.$

Många resultat följer nu i snabb följd från de allmänna formlerna för ortogonala koordinater . Således är elementet infinitesimal area lika med

$dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right )^{2}}}\,d\sigma \,d\tau ,$

och Laplacianen ges av

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\ frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right) .$

Uttryck för $\nabla f$ , $\nabla \cdot \mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ kan uttryckas genom att ersätta skalfaktorerna i de allmänna formlerna som finns i ortogonala koordinater .

Ansökningar

De klassiska tillämpningarna av bipolära koordinater är att lösa partiella differentialekvationer , t.ex. Laplaces ekvation eller Helmholtz-ekvationen , för vilka bipolära koordinater tillåter en separation av variabler . Ett exempel är det elektriska fältet som omger två parallella cylindriska ledare med olika diametrar.

Förlängning till 3-dimensioner

Bipolära koordinater utgör grunden för flera uppsättningar av tredimensionella ortogonala koordinater .

• De bipolära cylindriska koordinaterna produceras genom att translatera de bipolära koordinaterna längs z -axeln, dvs axeln utanför planet.

• De bisfäriska koordinaterna framställs genom att de bipolära koordinaterna roteras runt x -axeln, dvs axeln som förbinder brännpunkterna.

• De toroidformade koordinaterna framställs genom att de bipolära koordinaterna roteras kring y -axeln, dvs axeln som separerar brännpunkterna.

• "Bipolära koordinater" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Korn GA och Korn TM . (1961) Matematisk handbok för forskare och ingenjörer, McGraw-Hill.