Lista över kohomologiteorier

Detta är en lista över några av de vanliga och generaliserade (eller extraordinära) homologi- och kohomologiteorierna inom algebraisk topologi som definieras på kategorierna av CW-komplex eller spektra . För andra typer av homologiteorier se länkarna i slutet av denna artikel.

Notation

⁰ S = π = S är sfärspektrumet.
Sn är spektrumet för den n ^- dimensionella sfären
S ⁿ Y = S ⁿ ∧ Y är den n :te suspensionen av ett spektrum Y .
[ X , Y ] är den abelska gruppen av morfismer från spektrum X till spektrum Y , givet (ungefär) som homotopiklasser av kartor.
[ X , Y ] _n = ^[ Sn X , Y ]
[ X , Y ] _* är den graderade abelska gruppen som ges som summan av grupperna [ X , Y ] _n .
π _n ( X ) = [ S ⁿ , X ] = [ S , X ] _n är den n :te stabila homotopigruppen i X .
π _* ( X ) är summan av grupperna π _n ( X ), och kallas koefficientringen för X när X är ett ringspektrum.
X ∧ Y är smash-produkten av två spektra.

Om X är ett spektrum, definierar det generaliserade homologi- och kohomologiteorier för kategorin spektra enligt följande.

X _n ( Y ) = [ S , X ∧ Y ] _n = [ S ⁿ , X ∧ Y ] är den generaliserade homologin för Y ,
X ⁿ ( Y ) = [ Y , X ] _{− n} = [ S ^{− n} Y , X ] är den generaliserade kohomologin för Y

Vanliga homologiteorier

Det här är teorierna som uppfyller "dimensionsaxiomet" i Eilenberg–Steenrods axiom att homologin för en punkt försvinner i annan dimension än 0. De bestäms av en abelsk koefficientgrupp G , och betecknas med H( X , G ) (där G utelämnas ibland, särskilt om det är Z ). Vanligtvis G heltalen, rationalerna, realtalen, de komplexa talen eller heltalen mod ett primtal p .

Kohomologifunktionerna i vanliga kohomologiteorier representeras av Eilenberg–MacLane-utrymmen .

På enkla komplex sammanfaller dessa teorier med singular homologi och kohomologi.

Homologi och kohomologi med heltalskoefficienter.

Spektrum: H ( Eilenberg–MacLane spektrum av heltal.)

Koefficientring: π _n (H) = Z om n = 0, annars 0.

Den ursprungliga homologiteorin.

Homologi och kohomologi med rationella (eller reella eller komplexa) koefficienter.

Spektrum: HQ (Eilenberg–Mac Lane spektrum av rationalerna.)

Koefficientring: π _n (HQ) = Q om n = 0, annars 0.

Dessa är de enklaste av alla homologiteorier. Homologigrupperna HQn ₍ X ) betecknas ofta med Hn ₍ X , Q ) . Homologigrupperna H( X , Q ), H( X , R ), H( X , C ) med rationella , reella och komplexa koefficienter är alla lika och används huvudsakligen när vridning inte är av intresse (eller för komplicerad för att träna). Hodge -nedbrytningen skriver den komplexa kohomologin av en komplex projektiv varietet som en summa av kärvekohomologigrupper .

Homologi och kohomologi med mod p- koefficienter.

Spektrum: HZ _p (Eilenberg–Maclane spektrum av heltal mod p .)

Koefficientring: π _n (HZ _p ) = Z _p (heltal mod p ) om n = 0, annars 0.

K-teorier

De enklare K-teorierna för ett rum är ofta relaterade till vektorbuntar över rymden, och olika sorters K-teorier motsvarar olika strukturer som kan sättas på en vektorbunt.

Riktig K-teori

Spektrum: KO

Koefficientring: Koefficientgrupperna π _i (KO) har period 8 i i , givet av sekvensen Z , Z ₂ , Z ₂ ,0, Z , 0, 0, 0, upprepad. Som en ring genereras den av en klass η i grad 1, en klass x ₄ i grad 4 och en inverterbar klass v ₁⁴ i grad 8, med förbehåll för relationerna att 2 η = η ³ = ηx ₄ = 0, och x ₄² = 4 v ₁⁴ .

⁰ KO ( X ) är ringen av stabila ekvivalensklasser av reella vektorbuntar över X. Bott-periodicitet innebär att K-grupperna har period 8.

Komplex K-teori

Spektrum: KU (jämna termer BU eller Z × BU, udda termer U ).

Koefficientring: Koefficientringen K ^* (punkt) är ringen av Laurents polynom i en generator av grad 2.

⁰ K ( X ) är ringen av stabila ekvivalensklasser av komplexa vektorbuntar över X. Bott-periodicitet innebär att K-grupperna har period 2.

Kvaternionisk K-teori

Spektrum: KSp

Koefficientring: Koefficientgrupperna π _i (KSp) har period 8 i i , givet av sekvensen Z , 0, 0, 0, Z , Z ₂ , Z ₂ ,0, upprepad.

⁰ KSp ( X ) är ringen av stabila ekvivalensklasser av kvartjoniska vektorbuntar över X. Bott-periodicitet innebär att K-grupperna har period 8.

K teori med koefficienter

Spektrum: KG

G är någon abelsk grupp; till exempel lokaliseringen Z _{( p )} vid primtal p . Andra K-teorier kan också ges koefficienter.

Självkonjugerad K-teori

Spektrum: KSC

Koefficientring: ska skrivas...

Koefficientgrupperna $\pi _{i}$ (KSC) har period 4 i i , given av sekvensen Z , Z ₂ , 0, Z , upprepad. Introducerad av Donald W. Anderson i hans opublicerade 1964 University of California, Berkeley Ph.D. avhandling, "A new cohomology theory".

Connective K-teorier

Spektrum: ku för bindande K-teori, ko för bindande verklig K-teori.

Koefficientring: För ku är koefficientringen ringen av polynom över Z på en enda klass v ₁ i dimension 2. För ko är koefficientringen kvoten av en polynomring på tre generatorer, η i dimension 1, x ₄ i dimension 4, och v ₁⁴ i dimension 8, periodicitetsgeneratorn, modulo relationerna som 2 η = 0, x ₄² = 4 v ₁⁴ , η ³ = 0, och ηx = 0.

Grovt sett är detta K-teori med de negativa dimensionella delarna dödade.

KR-teori

Detta är en kohomologiteori definierad för rum med involution, från vilken många av de andra K-teorierna kan härledas.

Bordism och kobordism teorier

Kobordism studerar manifolds , där ett manifold betraktas som "trivialt" om det är gränsen för ett annat kompakt manifold. Kobordismklasserna av grenrör bildar en ring som vanligtvis är koefficientringen för någon generaliserad kohomologiteori. Det finns många sådana teorier, som ungefär motsvarar de olika strukturerna som man kan sätta på ett grenrör.

Kobordismteoriernas funktioner representeras ofta av Thom-rum från vissa grupper.

Stabil homotopi och kohomotopi

Spektrum: S ( sfärspektrum ).

Koefficientring: Koefficientgrupperna π _n ( S ) är de stabila homotopigrupperna av sfärer , som är notoriskt svåra att beräkna eller förstå för n > 0. (För n < 0 försvinner de, och för n = 0 är gruppen Z . )

Stabil homotopi är nära relaterad till kobordism av inramade grenrör (grenrör med en trivialisering av det normala knippet).

Oorienterad kobordism

Spektrum: MO ( Thom-spektrum för ortogonal grupp )

Koefficientring: π _* (MO) är ringen av kobordismklasser av oorienterade grenrör, och är en polynomring över fältet med 2 element på generatorer av grad i för varje i som inte har formen 2 ⁿ −1. Det vill säga: $\mathbb {Z} _{2}[x_{2},x_{4},x_{5}, x_{6},x_{8}\cdots ]$ där $x_{2n}$ kan representeras av klasserna $\mathbb {RP} ^{2n}$ medan man för udda index kan använda lämpliga Dold- förgreningar.

Oorienterad bordism är 2-torsion, eftersom 2M är gränsen för $M\times I$ .

MO är en ganska svag kobordismteori, eftersom spektrumet MO är isomorft till H(π _* (MO)) ("homologi med koefficienter i π _* (MO)") – MO är en produkt av Eilenberg–MacLane-spektra . Med andra ord är de motsvarande homologi- och kohomologiteorierna inte mer kraftfulla än homologi och kohomologi med koefficienter i Z /2Z . Detta var den första kobordismteorin som beskrevs fullständigt.

Komplex kobordism

Spektrum: MU (Thom spectrum of unitary group )

Koefficientring: π _* ( MU ) är polynomringen på generatorer av grad 2, 4, 6, 8, ... och är naturligt isomorf till Lazards universella ring och är kobordismringen av stabilt nästan komplexa grenrör .

Orienterad kobordism

Spektrum: MSO (Thom spectrum of special ortogonal group )

Koefficientring: Den orienterade kobordismklassen för ett grenrör bestäms helt av dess karakteristiska tal: dess Stiefel-Whitney-tal och Pontryagin-tal , men den totala koefficientringen, betecknad ${\ displaystyle \Omega _{*}=\Omega (*)=MSO(*)}$ är ganska komplicerat. Rationellt och vid 2 (motsvarande klasserna Pontryagin respektive Stiefel–Whitney) är MSO en produkt av Eilenberg–MacLane spektra – $MSO_{\mathbf {Q} }=H(\pi _{*}(MSO_{\mathbf {Q} } ))$ och $MSO[2]=H(\pi _{*}(MSO[2]))$ – men vid udda primtal är det inte det, och strukturen är komplicerad att beskriva. Ringen har beskrivits fullständigt integrerat, på grund av arbete av John Milnor , Boris Averbuch, Vladimir Rokhlin och CTC Wall .

Särskild enhetlig kobordism

Spektrum: MSU (Thom spectrum of special unitary group )

Koefficientring:

Spin cobordism (och varianter)

Spektrum: MSpin (Thom spectrum of spin group )

Koefficientring: Se (DW Anderson, EH Brown & FP Peterson 1967 ).

Symplektisk kobordism

Spektrum: Msp (Thom-spektrum av symplektisk grupp )

Koefficientring:

Clifford algebra kobordism

PL kobordism och topologisk kobordism

Spektrum: MPL, MSPL, MTop, MSTop

Koefficientring:

Definitionen liknar kobordism, förutom att man använder bitvis linjära eller topologiska istället för släta grenrör , antingen orienterade eller oorienterade. Koefficientringarna är komplicerade.

Brown–Peterson kohomologi

Spektrum: BP

Koefficientring: π _* (BP) är en polynomalgebra över Z _{( p )} på generatorer v _n med dimension 2( p ⁿ − 1) för n ≥ 1.

Brown–Peterson kohomologi BP är en summa av MU _p , vilket är komplex kobordism MU lokaliserad till ett primtal p . Faktum är att MU _{( p )} är summan av avstängningar av BP.

Morava K-teori

Spektrum: K( n ) (De beror också på ett primtal p .)

Koefficientring: F _p [ v _n , v _n⁻¹ ], där v _n har grad 2( p ⁿ -1).

Dessa teorier har period 2( p ⁿ − 1). De är uppkallade efter Jack Morava .

Johnson–Wilsons teori

Spektrum E ( n )

Koefficientring Z ₍₂₎ [ v ₁ , ..., v _n , 1/ v _n ] där v _i har grad 2(2 ⁱ −1)

Strängkobordism

Spektrum:

Koefficientring:

Teorier relaterade till elliptiska kurvor

Elliptisk kohomologi

Spektrum: Ell

Topologiska modulära former

Spektra: tmf, TMF (tidigare kallad eo ₂ .)

Koefficientringen π _* (tmf) kallas ringen av topologiska modulära former . TMF är tmf med 24:e potensen av den modulära formen Δ inverterad och har period 24 ² =576. Vid primtal p = 2 är fullbordandet av tmf spektrumet eo2 _och K(2)-lokaliseringen av tmf är Hopkins-Miller Higher Real K-teorispektrum _EO2 .

Se även

Stabil homotopi och generaliserad homologi (Chicago föreläsningar i matematik) av J. Frank Adams, University of Chicago Press ; Återutgåva (27 februari 1995) ISBN 0-226-00524-0
Anderson, Donald W.; Brown, Edgar H. Jr .; Peterson, Franklin P. (1967), "The Structure of the Spin Cobordism Ring", Annals of Mathematics , Second Series, 86 (2): 271–298, doi : 10.2307/1970690 , JSTOR 1970690
Notes on cobordism theory , av Robert E. Stong , Princeton University Press (1968) ASIN B0006C2BN6
Elliptic Cohomology (University Series in Mathematics) av Charles B. Thomas, Springer; 1 upplaga (oktober 1999) ISBN 0-306-46097-1