L² kohomologi
Inom matematik är L 2 kohomologi en kohomologiteori för jämna icke-kompakta grenrör M med Riemannisk metrisk . Det definieras på samma sätt som de Rham kohomologi förutom att man använder kvadratintegrerbara differentialformer . Begreppet kvadratintegrerbarhet är vettigt eftersom metriken på M ger upphov till en norm för differentialformer och en volymform .
L 2 kohomologi, som delvis växte ur L 2 d-bar-uppskattningar från 1960-talet, studerades kohomologiskt, oberoende av Steven Zucker (1978) och Jeff Cheeger (1979). Det är nära besläktat med korsningskohomologi ; faktiskt, resultaten i de föregående citerade verken kan uttryckas i termer av korsningskohomologi.
Ett annat sådant resultat är Zucker-förmodan , som säger att för en hermitisk lokalt symmetrisk variant är L2 - kohomologin isomorf till korsningskohomologin (med mittperversiteten ) av dess Baily-Borel-komprimering (Zucker 1982). Detta bevisades på olika sätt av Eduard Looijenga (1988) och av Leslie Saper och Mark Stern (1990).
Se även
- Atiyah, Michael F. (1976). "Elliptiska operatorer, diskreta grupper och von Neumann algebror". Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974) . Paris: Soc. Matematik. Frankrike. s. 43–72. Astérisque, nr 32–33.
- Gordon, B. Brent (2001) [1994], "Baily–Borel compactification" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Cheeger, Jeff (1983), "Spectral geometry of singular Riemannian spaces", Journal of Differential Geometry , 18 (4): 575–657, doi : 10.4310/jdg/1214438175 , MR 0730920
- Cheeger, Jeff (1980). "Om Hodge-teorin om Riemannska pseudomanifolds". Laplace-operatörens geometri . Proc. Sympos. Ren matte. Vol. 36. Providence, RI: American Mathematical Society. s. 91–146. MR 0573430 .
- Cheeger, Jeff (1979). "Om den spektrala geometrin hos utrymmen med konliknande singulariteter" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 76 (5): 2103–2106. Bibcode : 1979PNAS...76.2103C . doi : 10.1073/pnas.76.5.2103 . MR 0530173 . PMC 383544 . PMID 16592646 .
- Cheeger, J.; Goresky, M.; MacPherson, R. "L 2 cohomology and intersection homology for singular algebraic variants". Seminarium om differentialgeometri . Annals of Mathematics Studies. Vol. 102. s. 303–340. MR 0645745 .
- Mark Goresky , L 2 kohomologi är intersektionskohomologi
- Frances Kirwan , Jonathan Woolf An Introduction to Intersection Homology Theory, , kapitel 6 ISBN 1-58488-184-4
- Looijenga, Eduard (1988). "L 2 -kohomologi av lokalt symmetriska sorter". Compositio Mathematica . 67 (1): 3–20. MR 0949269 .
- Lück, Wolfgang (2002). L 2 -invarianter: teori och tillämpningar på geometri och K -teori . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. En serie moderna undersökningar i matematik [Resultat i matematik och relaterade områden. 3:e serien. En serie moderna undersökningar i matematik. Vol. 44. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43566-2 .
- Saper, Leslie; Stern, Mark (1990). "L 2 -kohomologi av aritmetiska varieteter". Annals of Mathematics . Andra serien. 132 (1): 1–69. doi : 10.2307/1971500 . JSTOR 1971500 . MR 1059935 .
- Zucker, Steven (1978). "Théorie de Hodge à coefficients dégénérescents". Compt. Rämna. Acad. Sci . 286 : 1137–1140.
- Zucker, Steven (1979). "Hodge-teori med degenererande koefficienter: L 2 -kohomologi i Poincaré-metriken". Annals of Mathematics . 109 (3): 415–476. doi : 10.2307/1971221 . JSTOR 1971221 .
- Zucker, Steven (1982). "L 2 -kohomologi av skeva produkter och aritmetiska grupper". Inventiones Mathematicae . 70 (2): 169–218. Bibcode : 1982InMat..70..169Z . doi : 10.1007/BF01390727 . S2CID 121348276 .