Cohomotopy set

Inom matematiken , särskilt algebraisk topologi , är kohomotopiuppsättningar särskilda kontravarianta funktorer från kategorin spetsiga topologiska utrymmen och baspunktsbevarande kontinuerliga kartor till kategorin uppsättningar och funktioner . De är dubbla till homotopigrupperna , men mindre studerade.

Översikt

Den p -te kohomotopiuppsättningen av ett spetsigt topologiskt utrymme X definieras av

$\pi ^{p}(X)=[X,S^{p}]$

uppsättningen spetsiga homotopiklasser av kontinuerliga mappningar från $X$ till p - sfären $S^{p$ . För p = 1 har denna uppsättning en abelsk gruppstruktur och, förutsatt att $X$ är ett CW-komplex , är den isomorf till den första kohomologigruppen $H^{1}(X)$ , eftersom cirkeln $S^{1}$ är ett Eilenberg–MacLane-utrymme av typen $K(\mathbb {Z} ,1)$ . Faktum är att det är Heinz Hopfs teorem att om $X$ är ett CW-komplex med dimension som högst p , så är $[X,S^{p}]$ i bijektion med den p -:te kohomologigruppen $H^{p}(X)$ .

Uppsättningen $}]}$ har också en naturlig gruppstruktur om $X$ är en suspension $\Sigma Y$ , som t.ex. sfär $S^{q}$ för $q\geq 1$ .

Om X inte är homotopi ekvivalent med ett CW-komplex, så kanske ${\displaystyle H^{1}(X)} inte är isomorf till$$[X,S^{ 1}]$ . Ett motexempel ges av Warszawa-cirkeln , vars första kohomologigrupp försvinner, men medger en karta till $S^{1}$ som inte är homotopisk till en konstant karta.

Egenskaper

Några grundläggande fakta om kohomotopiuppsättningar, några mer uppenbara än andra:

• $\pi ^{p}(S^{q})=\pi _{q}(S^{p})$ för alla p och q .
• För $q=p+1$ och $p>2$ , gruppen $\pi ^{p}(S^{q} )$ är lika med $\mathbb {Z} _{2}$ . (För att bevisa detta resultat Lev Pontryagin konceptet med inramad kobordism .)
• Om $f,g\colon X\to S^{p}$ har $\|f(x)- g(x)\|<2$ för alla x , sedan $[f]=[g]$ , och homotopin är jämn om f och g är det.
• För $X$ ett kompakt jämnt grenrör , $\pi ^{p}(X)$ är isomorf till uppsättningen homotopiklasser av jämna kartor $X\ till S^{p}$ ; i detta fall kan varje kontinuerlig karta likformigt approximeras av en jämn karta och alla homotopiska jämna kartor kommer att vara jämnt homotopa.
• Om $X$ är ett $m$ - grenrör , då är $\pi ^{p}(X)=0$ för $p>m$ .
• Om $X$ är ett $m$ - grenrör med gräns , är mängden $\displaystyle \pi ^{p}(X,\partial X)}$ { kanoniskt i bijektion med uppsättningen av kobordismklasser av kodimension - p inramade delgrenar av det inre $X\setminus \partial X$ .
• Den stabila kohomotopigruppen för $X$ är kogränsen

$\pi _{s}^{p}(X)=\varinjlim _{k}{[\Sigma ^{ k}X,S^{p+k}]}$

som är en abelsk grupp.