Alexander–Spanier kohomologi

I matematik , särskilt i algebraisk topologi , är Alexander-Spanier kohomologi en kohomologiteori för topologiska rum .

Historia

Det introducerades av James W. Alexander ( 1935 ) för det speciella fallet med kompakta metriska utrymmen , och av Edwin H. Spanier ( 1948 ) för alla topologiska utrymmen, baserat på ett förslag från Alexander D. Wallace .

Definition

Om X är ett topologiskt rum och G är en R- modul där R är en ring med enhet, så finns det ett samkedjekomplex C vars p -te term $C^{p}$ är mängden av alla funktioner från $X^{p+1}$ till G med differential $d\colon C^{p-1}\to C^{p}$ given förbi

$df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1}, x_{i+1},\ldots ,x_{p}).$

Det definierade samkedjekomplexet $C^{*}(X;G)$ förlitar sig inte på topologin för $X$ . Faktum är att om $X$ är ett icke-tomt utrymme, $G\simeq H^{*}(C^{*}(X;G) )$ där $G$ är en graderad modul vars enda icke-triviala modul är $G$ vid grad 0.

Ett element $\varphi \in C^{p}(X)$ sägs vara lokalt noll om det finns en täckande $\{U\}$ av $X$ av öppna mängder så att $\varphi$ försvinner på någon $(p+1)$ -tuppel av $X$ som ligger i något element av $\{U\}$ (dvs $\varphi$ försvinner på ${\textstyle \bigcup _{U\in \{U\}}U^ {p+1}}$ ). Delmängden av $C^{p}(X)$ som består av lokalt nollfunktioner är en undermodul, betecknad med $C_{0}^{p}(X)$ . ${\displaystyle C_{0}^{*}(X)=\{C_{0}^{p}(X),d\}} är$ en cochain subkomplex av $C^{*}(X)$ så vi definierar en kvot cochain komplex ${\ stapel {C}}^{*}(X)=C^{*}(X)/C_{0}^{*}(X)$ . Alexander–Spanier kohomologigrupperna ${\bar {H}}^{p}(X,G)$ definieras som kohomologigrupperna för ${\ displaystyle {\bar {C}}^{*}(X)}$ .

Inducerad homomorfism

Givet en funktion $f:X\to Y$ som inte nödvändigtvis är kontinuerlig, finns det en inducerad cochain-karta

$f^{\sharp }:C^{*}(Y;G)\to C^{*}(X;G)$

definieras av $(f^{\sharp }\varphi )(x_{0},...,x_{p})=(\varphi f)(x_{0},...,x_ {p}),\ \varphi \in C^{p}(Y);\ x_{0},...,x_{p}\in X$

Om $f$ är kontinuerlig, finns det en inducerad cochain-karta

$f^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(Y;G)\to {\ stapel {C}}^{*}(X;G)$

Relativ kohomologimodul

Om $A$ är ett delrum av $X$ och $i:A\hookrightarrow X$ är en inklusionskarta, så finns det en inducerad epimorfism $i^{\sharp }:{\bar {C}}^{*}(X;G)\to {\bar {C}}^ {*}(A;G)$ . Kärnan i $i^{\sharp }$ är ett samkedjeunderkomplex av ${\bar {C}}^{*}(X;G)$ som är betecknas med ${\bar {C}}^{*}(X,A;G)$ . Om $C^{*}(X,A)$ betecknar subkomplexet av $C^{*}(X)$ av funktioner $\ varphi$ som lokalt är noll på $A$ , sedan ${\bar {C}}^{* }(X,A)=C^{*}(X,A)/C_{0}^{*}(X)$ .

Den relativa modulen är ${\bar {H}}^{*}(X,A;G)$ definieras som kohomologimodulen för ${\bar {C}}^{*}(X,A;G)$ .

${\bar {H}}^{q}(X,A;G)$ kallas Alexander-kohomologimodulen för $(X, A)$ av graden $q$ med koefficienterna $G$ och denna modul uppfyller alla kohomologiaxiom. Den resulterande kohomologiteorin kallas Alexander (eller Alexander-Spanier) kohomologiteorin

Kohomologiteoretiska axiom

• (Dimensionsaxiom) Om $X$ är ett enpunktsutrymme, $G\simeq {\bar {H}}^{*}(X;G)$
• (Exakthetsaxiom) Om $(X,A)$ är ett topologiskt par med inklusionskartor $i:A\hookrightarrow X$ och $j:X\hookrightarrow (X,A)$ , det finns en exakt sekvens
  $$\cdots \to {\bar {H}}^{q}(X,A;G)\xrightarrow {j^{*}} {\bar {H}}^{q}(X;G )\xrightarrow {i^{*}} {\bar {H}}^{q}(A;G)\xrightarrow {\delta ^{*}} {\bar {H}}^{q+1}( X,A;G)\to \cdots$$
• (Excision axiom) För topologiskt par $(X,A)$ , om $U$ är en öppen delmängd av $X$ så att ${\ displaystyle {\bar {U}}\subset \operatorname {int} A}$ , sedan ${\bar {C}} ^{*}(X,A)\simeq {\bar {C}}^{*}(XU,AU)$ .
• (Homotopi axiom) Om $f_{0},f_{1}:(X,A)\to (Y,B)$ är homotopa, då $f_{0}^{*}=f_{1}^{*}:H^ {*}(Y,B;G)\till H^{*}(X,A;G)$

Alexanderkohomologi med kompakta stöd

En delmängd $B\subset X$ sägs vara cobounded om $XB$ är begränsad, dvs dess stängning är kompakt.

I likhet med definitionen av Alexander kohomologimodul kan man definiera Alexander kohomologimodul med kompakta stöd $\varphi \in C^{q}(X,A;G)$ ett par $(X,A)$ genom att lägga till egenskapen att är lokalt noll på någon sambunden delmängd av $X$ .

Formellt kan man definiera enligt följande: För givet topologiskt par $(X,A)$ , submodulen $C_{c}^{q} (X,A;G)$ av $C^{q}(X,A;G)$ består av $\varphi \in C^{q}(X,A;G)$ så att $\varphi$ är lokalt noll på någon sambunden delmängd av $X$ .

I likhet med Alexander kohomologimodulen kan man få ett cochain-komplex $C_{c}^{*}( X,A;G)=\{C_{c}^{q}(X,A;G),\delta \}$ och ett samkedjekomplex ${\bar {C}}_{c}^{*}(X,A;G)=C_{c}^{*}(X ,A;G)/C_{0}^{*}(X;G)$ .

Kohomologimodulen inducerad från cochain-komplexet ${\bar {C}}_{c}^{*}$ kallas Alexander-kohomologin för $(X,A)$ med kompakta stöd och betecknas med ${\bar {H}}_{c}^{*}(X,A;G)$ . Inducerad homomorfism av denna kohomologi definieras som Alexander kohomologiteorin.

Under denna definition kan vi modifiera homotopiaxiom för kohomologi till ett korrekt homotopiaxiom om vi definierar en coboundary homomorfism ${\ displaystyle \delta ^{*}:{\bar {H}}_{c}^{q}(A;G)\to {\bar {H}}_{c}^{q+1}(X, A;G)}$ endast när $A\subset X$ är en sluten delmängd. På liknande sätt excisionsaxiom modifieras till korrekt excisionsaxiom, dvs excisionskartan är en korrekt karta.

Fast egendom

En av de viktigaste egenskaperna hos denna Alexander-kohomologimodul med kompakt stöd är följande teorem:

• Om $X$ är ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme och $X^{+}$ är enpunktskomprimeringen av $X$ , så finns det en isomorfism
  $${\bar {H}}_{c}^{q}(X;G)\simeq {\tilde {\bar {H}}}^{q}(X^{+};G).$$

Exempel

${\bar {H}}_{c}^{q}(\mathbb {R} ^{n};G) \simeq {\begin{cases}0&q\neq n\\G&q=n\end{cases}}$

som $(\mathbb {R} ^{n})^{+}\cong S^{n}$ . Om $n\neq m$ , $\mathbb {R} ^{n}$ och $\mathbb {R} ^{m}$ är därför inte av samma rätt homotopityp .

Relation med stramhet

• Från det faktum att ett slutet delrum av ett parakompakt Hausdorff-rum är ett stramt delrum i förhållande till Alexanderkohomologiteorin och den första grundläggande egenskapen för stramhet , om $B\delmängd A\delmängd X$ där ${ \displaystyle X}$ är ett parakompakt Hausdorff-utrymme och $A$ och $B$ är slutna delrum till $X$ , då är $(A,B)$ spänt par i $X$ i förhållande till Alexanders kohomologiteorin.

Genom att använda denna stramhetsegenskap kan man visa följande två fakta:

• ( Stark excision egenskap ) Låt $(X,A)$ och $(Y,B)$ vara par med $X$ och $Y$ paracompact Hausdorff och $A$ och $B$ stängda. Låt $f:(X,A)\to (Y,B)$ vara en stängd kontinuerlig karta så att $f$ inducerar en ett-till -en karta av $XA$ till $YB$ . Sedan för alla $q$ och alla $G$ ,
  $$f^{*}:{\bar {H}}^{q}(Y,B; G)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X,A;G)$$
• ( Svag kontinuitetsegenskap ) Låt ${\displaystyle \{(X_{\alpha },A_{\alpha })\}_{\alpha }} vara$ en familj av kompakta Hausdorff-par i lite mellanslag, riktat nedåt genom inkludering, och låt ${\textstyle (X,A)=(\bigcap X_{\alpha },\bigcap A_{\alpha } )}$ . Inklusionskartorna $i_{\alpha }:(X,A)\to (X_{\alpha },A_{\alpha })$ inducerar en isomorfism

  $\{i_{\alpha }^{*}\ }:\varinjlim {\bar {H}}^{q}(X_{\alpha },A_{\alpha};M)\xrightarrow {\sim } {\bar {H}}^{q}(X, A;M)$ .

Skillnad från singular kohomologiteori

Kom ihåg att den singulära kohomologimodulen i ett utrymme är den direkta produkten av de singulära kohomologimodulerna av dess vägkomponenter.

Ett icke-tomt utrymme $X$ är anslutet om och endast om $G\simeq {\bar {H}}^{0}(X;G)$ . Därför skiljer sig singular kohomologi och Alexanderkohomologi i grad 0 för alla sammankopplade rum som inte är väganslutna .

Om $\{U_{j}\}$ är en öppen täckning av $X$ av parvis disjunkta mängder, så finns det en naturlig isomorfism ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q}(U_{ j};G)}$ . I synnerhet, om $\{C_{j}\}$ är samlingen av komponenter i ett lokalt anslutet utrymme $X$ , finns det en naturlig isomorfism ${\textstyle {\bar {H}}^{q}(X;G)\simeq \prod _{j}{\bar {H}}^{q} (C_{j};G)}$ .

Varianter

Det är också möjligt att definiera Alexander-Spanier-homologi och Alexander-Spanier-kohomologi med kompakta stöd. ( Bredon 1997 )

Koppling till andra kohomologier

Alexander-Spanier-kohomologigrupperna sammanfaller med Čech- kohomologigrupper för kompakta Hausdorff-utrymmen och sammanfaller med singulära kohomologigrupper för lokalt ändliga komplex.

Bibliografi

•      Alexander, James W. (1935), "On the Chains of a Complex and Their Duals", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , National Academy of Sciences, 21 (8): 509–511, Bibcode : 1935PNAS...21..509A , doi : 10.1073/pnas.21.8.509 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 86360 , PMC 1076641 , PMID 16577676
•    Bredon, Glen E. (1997), Sheaf theory , Graduate Texts in Mathematics, vol. 170 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0647-7 , ISBN 978-0-387-94905-5 , MR 1481706
•     Massey, William S. (1978), "How to give an exposition of the Čech-Alexander-Spanier type homology theory", The American Mathematical Monthly , 85 (2): 75–83, doi : 10.2307/2321782 , ISSN 0002- 9890 , JSTOR 2321782 , MR 0488017
•    Massey, William S. (1978), Homology and cohomology theory. Ett tillvägagångssätt baserat på Alexander-Spanier cochains. , Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 46, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-6662-7 , MR 0488016
•    Spanier, Edwin H. (1948), "Cohomology theory for general spaces", Annals of Mathematics , Second Series, 49 ( 2 ): 407–427, doi : 10.2307/1969289 , ISSN 0003-486X , JSTOR 8 9,4621 1969  
•   Spanier, Edwin H. (1966), Algebraisk topologi , ISBN 978-0387944265