Stiefel–Whitney klass

Inom matematiken , i synnerhet i algebraisk topologi och differentialgeometri , är Stiefel -Whitney-klasserna en uppsättning topologiska invarianter av en verklig vektorbunt som beskriver hindren för att konstruera oberoende uppsättningar av sektioner av vektorbunten överallt . Stiefel–Whitney-klasser indexeras från 0 till n , där n är rangordningen för vektorbunten. Om Stiefel–Whitney-klassen för index i inte är noll, kan det inte existera $(n-i+1)$ överallt linjärt oberoende sektioner av vektorbunten. En noll n :e Stiefel–Whitney klass indikerar att varje del av bunten måste försvinna någon gång. En första Stiefel–Whitney-klass som inte är noll anger att vektorbunten inte är orienterbar . Till exempel är den första Stiefel–Whitney-klassen i Möbius-remsan , som en linjebunt över cirkeln, inte noll, medan den första Stiefel–Whitney-klassen i triviallinjebunten över cirkeln, $S ^{1}\times \mathbb {R}$ , är noll.

Stiefel–Whitney-klassen har fått sitt namn efter Eduard Stiefel och Hassler Whitney och är ett exempel på en $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ - karakteristisk klass associerad med riktiga vektorbuntar.

Inom algebraisk geometri kan man också definiera analoga Stiefel-Whitney-klasser för vektorbuntar med en icke-degenererad kvadratisk form, med värden i etale-kohomologigrupper eller i Milnor K-teori . Som ett specialfall kan man definiera Stiefel-Whitney-klasser för kvadratiska former över fält, där de två första fallen är diskriminanten och Hasse -Witt-invarianten ( Milnor 1970 ).

Introduktion

Allmän presentation

För en riktig vektorbunt E betecknas Stiefel –Whitney-klassen av E med w ( E ) . Det är en del av kohomologiringen

$H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )= \bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

där X är basutrymmet för paketet E , och $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (ofta alternativt betecknat med $\mathbb {Z} _{2 }$ ) är den kommutativa ringen vars enda element är 0 och 1. Komponenten av $w(E)$ i $H^{i}( X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ betecknas med $w_{i}(E)$ och kallas den i -te Stiefel–Whitney-klassen av E . Således,

$w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2 }(E)+\cdots$ ,

där varje $w_{i}(E)$ är ett element av $H^{i}(X;\mathbb {Z} /2 \mathbb {Z} )$ .

Stiefel–Whitney-klassen $w(E)$ är en invariant av den reella vektorbunten E ; dvs när F är en annan reell vektorbunt som har samma basutrymme X som E , och om F är isomorf till E , då klasserna Stiefel–Whitney $w(E)$ och $w(F)$ är lika. (Här isomorf att det finns en vektorbunt isomorfism $E\to F$ som täcker identiteten $\mathrm {id} _{X}\colon X\to X$ .) Även om det i allmänhet är svårt att avgöra om två reella vektorbuntar E och F är isomorfa, klasserna Stiefel–Whitney $w(E)$ och $w( F)$ kan ofta beräknas enkelt. Om de är olika vet man att E och F inte är isomorfa.

Som ett exempel, över cirkeln $displaystyle S^{1}}$ \ finns det en linjebunt (dvs. en reell vektorbunt av rang 1) som inte är isomorf till en trivialbunt . Detta linjeknippe L är Möbiusbandet (som är ett fiberknippe vars fibrer kan förses med vektorrumsstrukturer på ett sådant sätt att det blir ett vektorknippe). Kohomologigruppen $H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ har bara ett element annat än 0 Detta element är den första Stiefel–Whitney-klassen $w_{1}(L)$ av L . Eftersom den triviala linjebunten över $S^{1}$ har första Stiefel–Whitney klass 0, är ​​den inte isomorf till L .

Två riktiga vektorbuntar E och F som har samma Stiefel–Whitney-klass är inte nödvändigtvis isomorfa. Detta händer till exempel när E och F är triviala reella vektorbuntar av olika rang över samma basutrymme X . Det kan också hända när E och F har samma rang: tangentbunten för 2-sfären $S^{2}$ och den triviala reella vektorbunten av rang 2 över $S^{ 2}$ har samma Stiefel–Whitney-klass, men de är inte isomorfa. Men om två riktiga linjebuntar över X har samma Stiefel–Whitney-klass, så är de isomorfa.

Ursprung

Stiefel–Whitney-klasserna $w_{i}(E)$ får sitt namn eftersom Eduard Stiefel och Hassler Whitney upptäckte dem som mod-2- reduktioner av hinderklasserna till att konstruera ${\ displaystyle n-i+1}$ överallt linjärt oberoende sektioner av vektorbunten E begränsade till i -skelettet av X . Här n dimensionen av fibern i vektorbunten $F\to E\to X$ .

För att vara exakt, förutsatt att $(E)}$ ) { \ displaystyle i den i :te cellulära kohomologigruppen av X med vridna koefficienter. Koefficientsystemet är $(i-1)$$V_{n-i+1}(F)$ homotopigruppen i Stiefel -grenröret av $n-i+1$ linjärt oberoende vektorer i fibrerna i E . Whitney bevisade att $W_{i}(E)=0$ om och endast om E , när den är begränsad till i -skelettet av X , har $n-i +1$ linjärt oberoende sektioner.

Eftersom $är {\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$ antingen oändligt cykliskt eller isomorft till ${ \displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ , det finns en kanonisk reduktion av klasserna $W_{i}(E)$ till klasserna ${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )} som är$ Stiefel–Whitney-klasserna. Dessutom, närhelst $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} / 2\mathbb {Z}$ , de två klasserna är identiska. Således, $w_{1}(E)=0$ om och endast om paketet $E\to X$ är orienterbart .

Klassen $w_{0}(E)$ innehåller ingen information, eftersom den är lika med 1 per definition. Dess skapelse av Whitney var en handling av kreativ notation, vilket tillät Whitneys summaformel w $\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2} )=w(E_{1})w(E_{2})}$ för att vara sant.

Definitioner

Genomgående betecknar $H^{i}(X;G)$ singular kohomologi för ett rum X med koefficienter i gruppen G . Ordet karta betyder alltid en kontinuerlig funktion mellan topologiska rum .

Axiomatisk definition

Stiefel-Whitneys karaktäristiska klass $w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ av en reell vektorbunt E med ändlig rang på ett parakompakt basutrymme X definieras som den unika klassen så att följande axiom är uppfyllda:

1. Normalisering: Whitney-klassen för det tautologiska linjeknippet över det verkliga projektiva rummet $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )$ är icke-trivial, dvs. $w(\gamma _{1}^{1} )=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})$ .
2. Rank: $w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),$ och för i över rangen för E , $w_{i}=0\in H^{i}(X)$ , det vill säga $w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).$
3. Whitneys produktformel: ${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)} ,$ det vill säga Whitney-klassen av en direkt summa är cupprodukten av summans klasser.
4. Naturlighet: $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ för valfri verklig vektorbunt $E \to X$ och map $f\colon X'\to X$ , där $f^{*}E$ betecknar pullbackvektorbunten .

Det unika med dessa klasser bevisas till exempel i avsnitt 17.2 – 17.6 i Husemoller eller avsnitt 8 i Milnor och Stasheff. Det finns flera bevis på existensen, som kommer från olika konstruktioner, med flera olika smaker, deras koherens säkerställs av unicity statementet.

Definition via oändliga Grassmannians

De oändliga Grassmannerna och vektorbuntarna

Detta avsnitt beskriver en konstruktion som använder begreppet klassificering av utrymme .

För vilket vektorrum som helst V , låt $Gr_{n}(V)$ beteckna Grassmannan , rymden för n -dimensionella linjära delrum av V , och beteckna den oändliga Grassmannian

$Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })$ .

Kom ihåg att den är utrustad med den tautologiska bunten $\gamma ^{n}\to Gr_{n},$ en rank n vektorbunt som kan definieras som subbunten av trivialbunten av fiber V vars fiber i en punkt $W\in Gr_{n}(V)$ är delrummet som representeras av Ẃ .

Låt $f\colon X\to Gr_{n}$ , vara en kontinuerlig karta till den oändliga Grassmannian. Sedan, upp till isomorfism, bunten inducerad av kartan f på X

$f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)$

beror endast på homotopiklassen för kartan [ f ]. Tillbakadragningsoperationen ger alltså en morfism från uppsättningen

$[X;Gr_{n}]$

av kartor $X\to Gr_{n}$ modulo homotopi ekvivalens, till mängden

$\mathrm {Vect} _{n}(X)$

av isomorfismklasser av vektorbuntar av rang n över X .

(Det viktiga faktumet i denna konstruktion är att om X är ett parakompakt utrymme är denna karta en bijektion . Detta är anledningen till att vi kallar infinite Grassmannians klassificeringsutrymmen för vektorbuntar.)

Nu, enligt naturlighetsaxiomet (4) ovan, $w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f ^{*}w_{j}(\gamma ^{n})$ . Så det räcker i princip att känna till värdena för $w_{j}(\gamma ^{n})$ för alla j . Kohomologiringen $H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})$ är dock gratis på specifika generatorer ${\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})} som$ härrör från en standardcellnedbrytning, och den vänder sedan ut att dessa generatorer i själva verket bara ges av $x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})$ . Alltså, för alla rank-n-buntar, ${\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}} ,$ där f är den lämpliga klassificeringskartan. Detta ger i synnerhet ett bevis på existensen av Stiefel-Whitney-klasserna.

Fallet med linjebuntar

Vi begränsar nu ovanstående konstruktion till linjebuntar, dvs vi betraktar utrymmet, $\mathrm {Vect} _{1}(X)$ av linjebuntar över X . Grassmannian för linjer $Gr_{1}$ är bara det oändliga projektiva utrymmet

$\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^ {*},$

som är dubbelt täckt av den oändliga sfären $S^{\infty }$ av antipodalpunkter . Denna sfär $S^{\infty }$ är sammandragbar , så vi har

${\begin{aligned}\pi _{1}( \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}$

Därför är P ^∞ ( R ) Eilenberg-Maclane rymden $K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)$ .

Det är en egenskap av Eilenberg-Maclane utrymmen, att

$\left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1 }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

för alla X , med isomorfismen som ges av f → f* η, där η är generatorn

$H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z } /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .

Genom att tillämpa den tidigare anmärkningen att α : [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) också är en bijektion, får vi en bijektion

$w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}( X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )$

detta definierar Stiefel–Whitney-klassen w ₁ för linjebuntar.

Gruppen av linjebuntar

Om Vect ₁ ( X ) betraktas som en grupp under drift av tensorprodukt, så är Stiefel-Whitney-klassen, w ₁ : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z /2 Z ), en isomorfism. Det vill säga w ₁ (λ ⊗ μ) = w ₁ (λ) + w ₁ (μ) för alla linjebuntar λ, μ → X .

Till exempel, eftersom H ¹ ( S ¹ ; Z /2 Z ) = Z /2 Z , finns det bara två linjeknippen över cirkeln fram till bunteisomorfism: den triviala och den öppna Möbiusremsan (dvs. Möbiusremsan med dess gräns borttagen).

Samma konstruktion för komplexa vektorbuntar visar att Chern-klassen definierar en bijektion mellan komplexa linjebuntar över X och H ² ( X ; Z ), eftersom det motsvarande klassificeringsutrymmet är P ^∞ ( C ), en K( Z , 2). Denna isomorfism är sant för topologiska linjebuntar, hindret för injektivitet av Chern-klassen för algebraiska vektorbuntar är den jakobianska varianten .

Egenskaper

Topologisk tolkning av försvinnande

1. w _i ( E ) = 0 närhelst i > rank( E ).
2. Om E ^k har $s_{1},\ldots ,s_{\ell }$$ell }$ { \ displaystyle \ toppgrads Whitney-klasserna: $w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0$ .
3. Den första Stiefel–Whitney-klassen är noll om och endast om bunten är orienterbar . I synnerhet är ett grenrör M orienterbart om och endast om w ₁ ( TM ) = 0.
4. Bunten medger en spinstruktur om och bara om både den första och andra Stiefel–Whitney-klassen är noll.
5. För en orienterbar bunt är den andra Stiefel–Whitney-klassen i bilden av den naturliga kartan H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (motsvarande den så kallade tredje integralen Stiefel–Whitney-klassen är noll) om och endast om paketet tillåter en spin ^c -struktur.
6. Alla Stiefel-Whitney- tal (se nedan) för en jämn kompakt grenrör X försvinner om och bara om grenröret är gränsen för något jämnt kompakt (oorienterat) grenrör (Varning: Vissa Stiefel-Whitney- klasser kan fortfarande vara icke-noll, till och med om alla Stiefel Whitney -nummer försvinner!)

Det unika med Stiefel-Whitney-klasserna

Bijektionen ovan för linjebuntar innebär att varje funktion θ som uppfyller de fyra axiomen ovan är lika med w , med följande argument. Det andra axiomet ger θ(γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ). För inklusionskartan i : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ), är pullback-paketet $i^{*}\gamma ^{1}$ lika med $\ gamma _{1}^{1}$ . Således innebär det första och tredje axiomet

$i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right) =\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\ vänster(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).$

Sedan kartan

$i^{*}:H^{1}\left(\ mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1 }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)$

är en isomorfism, $\theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})$ och θ (yi ⁾ = w (yi ⁾ följer. Låt E vara en reell vektorbunt av rang n över ett mellanslag X . Sedan medger E en delande karta , dvs en karta f : X′ → X för ett utrymme X′ så att ${ \displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\till H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$ är injektiv och $f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}$ för vissa linjebuntar $\lambda _{i}\to X'$ . Varje linjebunt över X är av formen $g^{*}\gamma ^{1}$ för en karta g , och

$\theta \left(g^{*}\gamma ^{1 }\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^ {*}\gamma ^{1}\right),$

av naturlighet. Alltså θ = w på ${\text{Vect}}_{1}(X)$ . Det följer av det fjärde axiomet ovan

$f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E )=f^{*}w(E).$

Eftersom $f^{*}$ är injektiv, θ = w . Således är Stiefel–Whitney-klassen den unika funktion som uppfyller de fyra axiomen ovan.

Icke-isomorfa buntar med samma Stiefel–Whitney-klasser

Även om kartan $w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^ {1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ är en bijektion, motsvarande karta är inte nödvändigtvis injektiv i högre dimensioner. Betrakta till exempel tangentbunten $TS^{n}$ för n jämn. Med den kanoniska inbäddningen av $S^{n}$ i $\mathbb {R} ^{n+1}$ , den normala bunten $\nu$ till $S^{n}$ är ett linjepaket. Eftersom $S^{n}$ är orienterbar, är $\nu$ trivialt. Summan $TS^{n}\oplus \nu$ är bara begränsningen av $T\mathbb {R} ^{n+1}$ till ${ \displaystyle S^{n}}$ , vilket är trivialt eftersom $\mathbb {R} ^{n+1}$ är sammandragbar. Följaktligen är w ( TSn ⁾ = w ( TSn ⁾ w (ν) = w( TSn ^, ⊕ ν) = 1. Men, förutsatt att n är jämn är TSn → ^inte Sn trivial ^; dess Euler-klass $e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S ^{n}]=2[S^{n}]\not =0$ , där [ S ⁿ ] betecknar en fundamental klass av S ⁿ och χ Eulerkarakteristiken .

Besläktade invarianter

Stiefel–Whitney-nummer

Om vi ​​arbetar på ett grenrör med dimensionen n , så kan vilken produkt som helst av Stiefel-Whitney-klasser av total grad n paras ihop med Z /2 Z - grundläggande klass av grenröret för att ge ett element av Z /2 Z , en Stiefel- Whitney-nummer för vektorbunten. Till exempel, om grenröret har dimension 3, finns det tre linjärt oberoende Stiefel–Whitney-tal, givna av $w_{1}^{3},w_{1}w_ {2},w_{3}$ . I allmänhet, om grenröret har dimension n , är antalet möjliga oberoende Stiefel–Whitney-tal antalet partitioner av n .

Stiefel–Whitney-talen för tangentbunten i ett jämnt grenrör kallas grenrörets Stiefel-Whitney-tal. De är kända för att vara kobordisminvarianter . Det bevisades av Lev Pontryagin att om B är ett jämnt kompakt ( n +1)-dimensionellt grenrör med gräns lika med M , så är Stiefel-Whitney-talen för M alla noll. Dessutom bevisades det av René Thom att om alla Stiefel-Whitney-tal för M är noll så kan M realiseras som gränsen för något smidigt kompakt grenrör.

Ett Stiefel-Whitney-tal som är viktigt i kirurgiteori är de Rham-invarianten av ett (4 k +1)-dimensionellt grenrör, $w_{2}w_{4k-1}.$

Wu klasser

Stiefel–Whitney-klasserna $}}$ k är Steenrod-rutorna för Wu-klasserna ${\displaystyle w_{k}} ,$ definierade av Wu Wenjun i ( Wu 1955 . Enklast är den totala Stiefel–Whitney-klassen den totala Steenrod-kvadraten av den totala Wu-klassen: $\operatorname {Sq} (v)=w$ . Wu-klasser definieras oftast implicit i termer av Steenrod-rutor, som kohomologiklassen som representerar Steenrod-rutorna. Låt grenröret X vara n dimensionellt. Sedan, för varje kohomologiklass x av grad $nk$ ,

$v_{k}\cup x=\operatörsnamn {Sq} ^{k}(x)$ .

Eller mer snävt, vi kan kräva $\langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatörsnamn {Sq } ^{k}(x),\mu \rangle$ , återigen för kohomologiklasser x av grad $nk$ .

Integral Stiefel–Whitney klasser

Elementet $\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )$ kallas i + 1- integralen Stiefel–Whitney-klassen, där β är Bockstein-homomorfismen , motsvarande reduktionsmodulo 2, Z → Z /2 Z :

$\beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).$

Till exempel är den tredje integrerade Stiefel-Whitney-klassen hindret för en Spin ^c -struktur .

Relationer över Steenrod algebra

Över Steenrod-algebra genereras Stiefel–Whitney-klasserna för ett jämnt grenrör (definierat som Stiefel–Whitney-klasserna i tangentbunten) av de av formen $w_{2^{i}}$ . I synnerhet uppfyller Stiefel-Whitney-klasserna Wu-formeln , uppkallad efter Wu Wenjun :

$Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+ti-1 \choose t}w_{it}w_{j+t}.$

Se även

• Karakteristisk klass för en allmän undersökning, särskilt Chern-klassen , den direkta analogen för komplexa vektorbuntar
• Verkligt projektivt utrymme

• Dale Husemoller , Fiber Bundles , Springer-Verlag, 1994.
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) , Chicago: University of Chicago Press , hämtad 2009-08-07
•     Milnor, John Willard (1970 ) , Med en appendix av J. Tate, "Algebraic K - theory and quadratic forms", Inventiones Mathematicae , 9 : 318–344, doi : 10.1007/BF01425486 , ISSN 0020-9bl , 4 9 0020 , ZMR 0020-9 0199.55501

externa länkar

• Wu-klass på Manifold Atlas