Lazards universalring

Inom matematiken är Lazards universella ring en ring introducerad av Michel Lazard i Lazard (1955) över vilken den universella kommutativa endimensionella formella grupplagen definieras.

Det finns en universell kommutativ endimensionell formell grupplag över en universell kommutativ ring definierad enligt följande. Vi låter

F(x,y)

vara

x+y+\sum _{i,j}c_{i,j}x^{i}y^{j}

för obestämda $c_{i,j}$ , och vi definierar den universella ringen R som den kommutativa ringen som genereras av elementen $c_{i,j}$ , med relationer som tvingas fram av associativitets- och kommutativitetslagarna för formella grupplagar. Mer eller mindre per definition har ringen R följande universella egenskap:

För varje kommutativ ring S motsvarar endimensionella formella grupplagar över S ringhomomorfismer från R till S .

Den kommutativa ringen R konstruerad ovan är känd som Lazards universella ring . Vid första anblicken verkar det vara otroligt komplicerat: relationerna mellan dess generatorer är väldigt röriga. Lazard visade dock att den har en mycket enkel struktur: den är bara en polynomring (över heltal) på generatorer av grad 1, 2, 3, ..., där $c_{i,j}$ har grad $(i+j-1)$ . Daniel Quillen ( 1969 ) bevisade att koefficientringen för komplex kobordism är naturligt isomorf som en graderad ring till Lazards universella ring. Därför klassificerar topologer vanligtvis Lazard-ringen så att $c_{i,j}$ har grad $2(i+j-1)$ , eftersom koefficienten ring av komplex kobordism är jämnt graderad.

Adams, J. Frank (1974), Stabil homotopi och generaliserad homologi , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
Lazard, Michel (1955), "Sur les groupes de Lie formels à un paramètre", Bulletin de la Société Mathématique de France , 83 : 251–274, doi : 10.24033/bsmf.1462 , MR 0073925
Lazard, Michel (1975), Kommutativa formella grupper , Lecture Notes in Mathematics, vol. 443, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070554 , ISBN 978-3-540-07145-7 , MR 0393050
Quillen, Daniel (1969), "On the formal group laws of unoriented and complex cobordism theory", Bulletin of the American Mathematical Society , 75 ( 6): 1293–1298, doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 MR 0253350 _