Homotopisk anslutning

Ej att förväxla med homotopisk anslutning .

Den här artikeln handlar om begreppet i algebraisk topologi. För andra anslutningskoncept, se Anslutningar .

I algebraisk topologi är homotopisk anslutning en egenskap som beskriver ett topologiskt utrymme baserat på dimensionen av dess hål. I allmänhet indikerar låg homotopisk anslutning att utrymmet har minst ett lågdimensionellt hål. Begreppet n -anslutenhet generaliserar begreppen väg-anslutenhet och enkel anknytning .

En motsvarande definition av homotopisk anslutning är baserad på homotopigrupperna i rummet. Ett utrymme är n -anslutet (eller n -enkelt kopplat ) om dess första n homotopigrupper är triviala.

Homotopisk anslutning definieras också för kartor. En karta är n -kopplad om det är en isomorfism "upp till dimension n, i homotopi ".

Definition med hjälp av hål

Alla definitioner nedan betraktar ett topologiskt utrymme X .

Ett hål i X är, informellt, en sak som hindrar någon lämpligt placerad sfär från att kontinuerligt krympa till en punkt. På motsvarande sätt är det en sfär som inte kan förlängas kontinuerligt till en boll . Formellt,

• En d-dimensionell sfär i X är en kontinuerlig funktion $f_{d}:S^{d}\to X$ .
• En d-dimensionell kula i X är en kontinuerlig funktion $g_{d}:B^{d}\to X$ .
• Ett d-dimensionellt gränshål i X är en d -dimensionell sfär som inte är nollhomotopisk (- kan inte krympas kontinuerligt till en punkt). På motsvarande sätt är det en d- dimensionell sfär som inte kan förlängas kontinuerligt till en ( d +1)-dimensionell boll. Det kallas ibland ett ( d +1)-dimensionellt hål ( d +1 är dimensionen på den "saknade bollen").
• X kallas n -anslutet om det inte innehåller några hål med gränsdimension d ≤ n .
• Den homotopiska anslutningen av X , betecknad ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)} ,$ är det största heltal n för vilket X är n -anslutet.
• En något annorlunda definition av anslutning, som gör vissa beräkningar enklare, är: det minsta heltal d så att X innehåller ett d -dimensionellt hål. Denna anslutningsparameter betecknas med $\eta _{\pi }(X)$ , och den skiljer sig från föregående parameter med 2, det vill säga $\eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi}(X)+2$ .

Exempel

Ett 2-dimensionellt hål (ett hål med en 1-dimensionell gräns).

• Ett 2-dimensionellt hål (ett hål med en 1-dimensionell gräns) är en cirkel (S ¹ ) i X , som inte kan krympas kontinuerligt till en punkt i X . Ett exempel visas på bilden till höger. Det gula området är det topologiska utrymmet X ; det är en femhörning med en triangel borttagen. Den blå cirkeln är en 1-dimensionell sfär i X . Den kan inte krympas kontinuerligt till en punkt i X; därför; X har ett 2-dimensionellt hål. Ett annat exempel är det punkterade planet - det euklidiska planet med en enda punkt borttagen, $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ . För att göra ett 2-dimensionellt hål i en 3-dimensionell boll, gör en tunnel genom den. I allmänhet innehåller ett utrymme ett 1-dimensionellt gränshål om och bara om det inte är enkelt anslutet . Därför är enkelt-ansluten likvärdig med 1-ansluten. X är 0-ansluten men inte 1-ansluten, så ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ . Den lägsta dimensionen av ett hål är 2, så $\eta _{\pi }(X)=2$ .
  

  Ett 3-dimensionellt hål.
• Ett 3-dimensionellt hål (ett hål med en 2-dimensionell gräns) visas på bilden till höger. Här X en kub (gul) med en boll borttagen (vit). Den 2-dimensionella sfären (blå) kan inte kontinuerligt krympas till en enda punkt. X är enkelt anslutet men inte 2-anslutet, så ${\text{conn}}_{\pi }(X)=1$ . Den minsta dimensionen av ett hål är 3, så $\eta _{\pi }(X)=3$ .

Ett 1-dimensionellt hål.

• För ett 1-dimensionellt hål (ett hål med en 0-dimensionell gräns) måste vi överväga $S^{0}$ - den nolldimensionella sfären. Vad är en nolldimensionell sfär? - För varje heltal d är sfären $S^{d}$ gränsen för den ( d +1)-dimensionella bollen $B^{d+1}$ . Så $S^{0}$ är gränsen för ${\displaystyle B^{1}} ,$ som är segmentet [0,1]. Därför $S^{0}$ uppsättningen av två disjunkta punkter {0, 1}. En nolldimensionell sfär i X är bara en uppsättning av två punkter i X . Om det finns en sådan uppsättning, som inte kan krympas kontinuerligt till en enda punkt i X (eller kontinuerligt utökas till ett segment i X ), betyder det att det inte finns någon väg mellan de två punkterna, det vill säga X är inte vägbunden ; se bilden till höger. Därför är vägansluten ekvivalent med 0-ansluten. X är inte 0-ansluten, så ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-1$ . Den lägsta dimensionen av ett hål är 1, så $\eta _{\pi }(X)=1$ .
• Ett 0-dimensionellt hål är en saknad 0-dimensionell boll. En 0-dimensionell boll är en enda punkt; dess gräns $S^{-1}$ är en tom uppsättning. Därför är förekomsten av ett 0-dimensionellt hål ekvivalent med att utrymmet är tomt. Därför är icke-tom likvärdig med (-1)-ansluten. För ett tomt utrymme X , ${\text{conn}}_{\pi }(X)=-2$ och $\eta _{ \pi }(X)=0$ , vilket är dess minsta möjliga värde.
• En boll har inga hål av någon dimension. Därför är dess anslutningsmöjligheter oändlig: $\eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)= \infty$ .

Homotopisk anslutning av sfärer

I allmänhet, för varje heltal d , ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1} ($ och $\eta _{\pi }(S^{d})=d+1$ ) Beviset kräver två riktningar:

• Bevisa att ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d} , det vill säga$ S $\displaystyle S^{d}}$ kan inte kontinuerligt krympas till en enda punkt. Detta kan bevisas med hjälp av Borsuk–Ulam-satsen .
• Bevisa att ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1} , det vill säga$ varje kontinuerlig karta $S^{k}\to S^{d}$ för $k<d$ kan kontinuerligt krympas till en enda punkt.

Definition med hjälp av grupper

Ett mellanslag X kallas n -anslutet , för n ≥ 0, om det är icke-tomt, och alla dess homotopigrupper av ordningen d ≤ n är trivialgruppen :

$$\pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,$$

där $\pi _{i}(X)$ betecknar den i :te homotopigruppen och 0 betecknar den triviala gruppen. De två definitionerna är likvärdiga. Kravet på ett n -anslutet utrymme består av krav för alla d ≤ n :

• Kravet på d =-1 innebär att X inte ska vara tomt.
• Kravet på d =0 innebär att X ska vara vägkopplad.
• Kravet på någon d ≥ 1 innebär att X inte innehåller några hål med gränsdimension d . Det vill säga, varje d -dimensionell sfär i X är homotopisk till en konstant karta. Därför är den d -te homotopigruppen av X trivial. Motsatsen är också sant: Om X har ett hål med en d -dimensionell gräns, så finns det en d -dimensionell sfär som inte är homotopisk till en konstant karta, så den d -:te homotopigruppen av X är inte trivial. Kort sagt, X har ett hål med en d -dimensionell gräns, om-och-bara-om $\pi _{d}(X)\not \cong 0$ . Den homotopiska anslutningen av X är det största heltal n för vilket X är n -anslutet.

Kraven på att vara icke-tom och vägansluten kan tolkas som (−1)-ansluten respektive 0-connected, respectively, which is useful in defining 0-connected and 1-connected maps, as below. The 0th homotopy set can be defined as:

$\pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].$

⁰ Detta är bara en spetsig uppsättning , inte en grupp, såvida inte X själv är en topologisk grupp ; den särskiljande punkten är klassen för den triviala kartan, som skickar S till baspunkten för X . Med denna uppsättning är ett mellanslag 0-anslutet om och endast om den 0:e homotopiuppsättningen är enpunktsuppsättningen. Definitionen av homotopigrupper och denna homotopiuppsättning kräver att X är spetsigt (har en vald baspunkt), vilket inte kan göras om X är tomt.

⁰ Ett topologiskt utrymme X är vägkopplat om och endast om dess 0:e homotopigrupp försvinner identiskt, eftersom vägbundenhet innebär att två punkter x ₁ och x ₂ i X kan kopplas samman med en kontinuerlig väg som börjar i x ₁ och slutar i x ₂ , vilket är ekvivalent med påståendet att varje avbildning från S (en diskret uppsättning av två punkter) till X kan deformeras kontinuerligt till en konstant avbildning. Med denna definition kan vi definiera X att vara n -ansluten om och endast om

$\pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.$

Exempel

• Ett mellanslag X är (−1)-anslutet om och endast om det inte är tomt.
• Ett mellanslag X är 0-anslutet om och endast om det är icke-tomt och sökvägsanslutet .
• Ett utrymme är 1-anslutet om och bara om det helt enkelt är anslutet .
• En n -sfär är ( n − 1)-ansluten.

n -ansluten karta

Den motsvarande relativa föreställningen till den absoluta föreställningen om ett n -anslutet utrymme är en n -ansluten karta , som definieras som en karta vars homotopifiber Ff är ett ( n − 1)-anslutet utrymme. När det gäller homotopigrupper betyder det att en karta $f\colon X\to Y$ är n -ansluten om och endast om:

• $\pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim } {\to }} \pi _{i}(Y)$ är en isomorfism för $i<n$ , och
• $\pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y )$ är en operation.

Det sista tillståndet är ofta förvirrande; det beror på att försvinnandet av ( n − 1)-st homotopigruppen i homotopifibern Ff motsvarar en undersökning av de n : ^te homotopigrupperna, i exakt sekvens:

$\pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n- 1}(Ff).$

Om gruppen till höger $\pi _{n-1}(Ff)$ försvinner, så är kartan till vänster en surjektion.

Lågdimensionella exempel:

• En ansluten karta (0-ansluten karta) är en som är på vägkomponenter (0:e homotopigruppen); detta motsvarar att homotopfibern inte är tom.
• En enkelt ansluten karta (1-ansluten karta) är en som är en isomorfism på vägkomponenter (0:e homotopigruppen) och på grundgruppen (1:a homotopigruppen).

₀ n -anslutningen för utrymmen kan i sin tur definieras i termer av n -anslutningen av kartor: ett utrymme X med baspunkt x är ett n -anslutet utrymme om och endast om inkluderingen av baspunkten $x_{0} \hookrightarrow X$ är en n -ansluten karta. Den enda punktmängden är sammandragbar, så alla dess homotopigrupper försvinner, och således "isomorfism under n och in på n " motsvarar de första n homotopigrupperna av X som försvinner.

Tolkning

Detta är instruktivt för en delmängd: en n -ansluten inkludering $A\hookrightarrow X$ är sådan att, upp till dimensionen n − 1, homotoper i det större utrymmet X kan homotoperas till homotopier i delmängden A .

Till exempel, för att en inkluderingskarta $A\hookrightarrow X$ ska vara 1-ansluten måste den vara:

• på $\pi _{0}(X),$
• en-till-en på $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),$ och
• på $\pi _{1}(X).$

En-till-en på $\pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)$ betyder att om det finns en väg som förbinder två punkter $a,b\in A$ genom att passera genom X, det finns en bana i A som förbinder dem, medan på $\pi _{1}(X)$ att i själva verket är en väg i X homotopisk med en väg i A.

Med andra ord, en funktion som är en isomorfism på $\pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1} (X)$ innebär bara att alla element i $\pi _{n-1}(A)$ som är homotopa i X är abstrakt homotopa i A – homotopin i A kan vara orelaterade till homotopin i X – samtidigt som den är n -kopplad (så även till $\pi _{n}(X)$ ) betyder att (upp till dimension n − 1) homotopier i X kan skjutas in till homotopier i A .

Detta ger en mer konkret förklaring för användbarheten av definitionen av n -samband: till exempel ett utrymme där inkluderingen av k -skelettet är n -ansluten (för n > k ) – såsom inkluderingen av en punkt i n -sfär – har egenskapen att alla celler i dimensioner mellan k och n inte påverkar de lägre dimensionella homotopityperna.

Nedre gränser

Många topologiska bevis kräver lägre gränser för den homotopiska anslutningen. Det finns flera "recept" för att bevisa sådana lägre gränser.

Homologi

Hurewicz-satsen relaterar den homotopiska anslutningen ${\text{conn}}_{\pi }(X)$ till den homologiska anslutningsmöjligheten , betecknad med ${\text{conn }}_{H}(X)$ . Detta är användbart för att beräkna homotopisk anslutning, eftersom de homologiska grupperna lättare kan beräknas.

Antag först att X är helt enkelt kopplat, det vill säga ${\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1$ . Låt $n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2$ ; så $\pi _{i}(X)=0$ för alla $i<n$ , och $\pi _{n }(X)\neq 0$ . Hurewicz-satsen säger att i detta fall ${\tilde {H_{i}}}(X)=0$ för alla $i<n$ , och ${\tilde {H_{n}}}(X)$ är isomorft till $\pi _{n}(X)$ , så ${\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0$ också. Därför:

$${\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi}(X).$$

Om X inte är helt enkelt anslutet ( ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0} ),$ då

$${\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)$$

håller fortfarande. När ${\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1$ är detta trivialt. När ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0} ($ så X är sökvägsansluten men inte enkelt ansluten), bör man bevisa att ${\tilde {H_{0}}}(X)=0$ .

Olikheten kan vara strikt: det finns mellanslag där ${\text{conn}}_{\pi }(X)=0$ men ${ \text{conn}}_{H}(X)=\infty$ .

Per definition beror den k: te homologigruppen i ett förenklat komplex endast på förenklingarna av dimensionen som mest k +1 (se förenklad homologi) . Därför antyder ovanstående sats att ett förenklat komplex K är k -anslutet om och endast om dess ( k +1)-dimensionella skelett (delmängden av K som innehåller endast simpliceringar av dimensionen högst k +1) är k- anslutna.:

Ansluta sig

Låt K och L vara icke-tomma cellkomplex . Deras sammanfogning betecknas vanligtvis med $K*L$ . Sedan:

$${\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn} }_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.$$

Identiteten är enklare med eta-notationen:

$$\eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).$$

Som ett exempel, låt $K=L=S^{0}=$ en uppsättning av två frånkopplade punkter. Det finns ett 1-dimensionellt hål mellan punkterna, så eta är 1 . Sammanfogningen $K*L$ är en kvadrat, som är homeomorf till en cirkel, så dess eta är 2 . Sammanfogningen av denna kvadrat med en tredje kopia av K är en oktaeder , som är homeomorf till $S^{2}$ , och dess eta är 3. I allmänhet är sammanfogningen av n kopior av $S^{0}$ är homeomorf till $S^{n-1}$ och dess eta är n .

Det allmänna beviset är baserat på en liknande formel för den homologiska anslutningen.

Nerv

Låt K ₁ ,..., K _n vara abstrakta enkla komplex , och beteckna deras förening med K .

Beteckna nervkomplexet för { K ₁ , ... , K _n } (det abstrakta komplexet som registrerar skärningsmönstret för K _i ) med N .

Om, för varje icke-tom $J\subset I$ , är skärningspunkten ${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ antingen tom eller ( k −| J |+1)-ansluten, för varje j ≤ k är den j -te homotopigruppen i N isomorf med den j -te homotopigruppen i K .

I synnerhet är N k -ansluten om-och-bara-om K är k- ansluten.

Homotopi princip

I geometrisk topologi , fall då inkluderingen av ett geometriskt definierat utrymme, såsom utrymmet för nedsänkningar $M\to N,$ i ett mer allmänt topologiskt utrymme, såsom utrymmet för alla kontinuerliga kartor mellan två associerade mellanslag $X(M)\till X(N),$ är n -anslutna sägs uppfylla en homotopiprincip eller "h-princip". Det finns ett antal kraftfulla generella tekniker för att bevisa h-principer.

Se även

• Anslutet utrymme
• Kopplingsspektrum
• Bananknuten
• Helt enkelt ansluten
• Charlieplexing