Groupoid objekt

I kategoriteorin , en gren av matematiken , är ett groupoidobjekt både en generalisering av en groupoid som bygger på rikare strukturer än mängder, och en generalisering av en gruppobjekt när multiplikationen endast är delvis definierad.

Definition

Ett gruppoidobjekt i en kategori C som släpper in ändliga fiberprodukter består av ett par objekt $R,U$ tillsammans med fem morfismer

$s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\ gånger _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R$

som uppfyller följande groupoidaxiom

1. $s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\ circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}$ där $p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R$ är de två projektionerna,
2. (associativitet) $m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),$
3. (enhet) $m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ ( 1_{R},e\circ t)=1_{R},$
4. (invers) $i\circ i=1_{R}$ , $s\circ i=t,\,t\circ i =s$ , $m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\ ,m\circ (i,1_{R})=e\circ t$ .

Exempel

Gruppera objekt

Ett gruppobjekt är ett specialfall av ett groupoidobjekt, där $R=U$ och $s=t$ . Man återvinner därför topologiska grupper genom att ta kategorin topologiska utrymmen , eller Lie-grupper genom att ta kategorin grenrör etc.

Groupoider

Ett groupoidobjekt i kategorin mängder är just en groupoid i vanlig mening: en kategori där varje morfism är en isomorfism. Givet en sådan kategori C , ta U för att vara mängden av alla objekt i C , R mängden av alla pilar i C , de fem morfismerna som ges av ${\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y} ,$ m $\displaystyle m(f,g)=g\circ f}$ , $e(x)=1_{x}$ och $i(f)=f^{-1}$ . När termen "gruppoid" naturligtvis kan hänvisa till ett gruppoidobjekt i någon speciell kategori i åtanke, används termen groupoiduppsättning för att hänvisa till ett gruppoidobjekt i kategorin uppsättningar.

Men till skillnad från i det föregående exemplet med Lie-grupper, är ett groupoid-objekt i kategorin grenrör inte nödvändigtvis en Lie-groupoid , eftersom kartorna s och t inte uppfyller ytterligare krav (de är inte nödvändigtvis submersions ).

Groupoid-system

Ett groupoid S -schema är ett groupoidobjekt i kategorin scheman över något fast basschema S . Om $U=S$ så är ett groupoidschema (där $s=t$ nödvändigtvis är strukturkartan) detsamma som ett gruppschema . Ett groupoidschema kallas också en algebraisk groupoid , till exempel i ( Gillet 1984 ) , för att förmedla tanken att det är en generalisering av algebraiska grupper och deras handlingar.

Anta till exempel att en algebraisk grupp G verkar från höger på ett schema U . Ta sedan $R=U\ gånger G$ , s projektionen, t den givna åtgärden. Detta bestämmer ett groupoid-schema.

Konstruktioner

Givet ett gruppoidobjekt ( R , U ), är utjämnaren för ${\displaystyle R{\overset {s}{\underset {t}{\rightarrows }}}U},$ om någon, ett gruppobjekt kallas tröghetsgruppen för groupoiden. Samutjämnaren , är kvoten av groupoiden.

Varje gruppoidobjekt i en kategori C (om någon) kan ses som en kontravariant funktion från C till kategorin groupoider. På så sätt bestämmer varje gruppoidobjekt en förstack i groupoider. Denna förstacken är inte en stack men den kan staplas för att ge en stack.

Den huvudsakliga användningen av begreppet är att det ger en atlas för en stack. Mer specifikt, låt $[R\rightarrows U]$ vara kategorin för ( R ⇉ U ) {\displaystyle (R\rightrightarrows U)} -torsorer. Då är det en kategori fibred i groupoider ; faktiskt (i ett fint fall), en Deligne–Mumford-stack . Omvänt är alla DM-stack av denna form.

Se även

• Enkelt schema

Anteckningar

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Algebraiska stackar , arkiverad från originalet 2008-05-05 , hämtad 2014-02-11
• H. Gillet, Intersection theory on algebraic stack and Q-varieties, J. Pure Appl. Algebra 34 (1984), 193–240, Proceedings of the Luminy-konferens om algebraisk K-teori (Luminy, 1983).