Utbyte av begränsande operationer

Inom matematik är studiet av utbyte av begränsande operationer ett av de största problemen med matematisk analys , i det att två givna begränsande operationer, säg L och M , inte kan antas ge samma resultat när de tillämpas i någondera ordningen. En av de historiska källorna till denna teori är studiet av trigonometriska serier .

Formulering

I symboler, antagandet

LM = ML ,

där vänster sida betyder att M appliceras först, sedan L , och vice versa på höger sida , är inte en giltig ekvation mellan matematiska operatorer , under alla omständigheter och för alla operander. En algebraist skulle säga att operationerna inte pendlar . Tillvägagångssättet i analysen är något annorlunda. Slutsatser som antar att begränsande operationer "pendlar" kallas formella . Analytikern försöker avgränsa förhållanden under vilka sådana slutsatser är giltiga; med andra ord etableras matematisk rigor genom att specificera någon uppsättning tillräckliga villkor för att den formella analysen ska hålla. Detta tillvägagångssätt motiverar till exempel begreppet enhetlig konvergens . Det är relativt sällsynt att sådana tillräckliga villkor också är nödvändiga, så att en skarpare analys kan utvidga giltighetsområdet för formella resultat.

Professionellt sett pressar därför analytiker teknikernas hölje och utökar betydelsen av väluppfostrad för ett givet sammanhang. GH Hardy skrev att "Problemet med att avgöra om två givna gränsoperationer är kommutativa är ett av de viktigaste i matematik". En åsikt som uppenbarligen inte var för det bitvisa tillvägagångssättet, utan för att lämna analys på heuristisk nivå, var Richard Courant .

Exempel

Det finns många exempel, ett av de enklaste är att för en dubbelsekvens a _{m , n} : det är inte nödvändigtvis så att operationerna att ta gränserna som m → ∞ och som n → ∞ kan bytas ut fritt. Ta till exempel

a _{m , n} = 2 ^{m − n}

där att ta gränsen först med avseende på n ger 0, och med avseende på m ger ∞.

Många av de grundläggande resultaten av infinitesimalkalkyl hamnar också i denna kategori: symmetri av partiella derivator , differentiering under integraltecknet och Fubinis sats handlar om utbytet av differentierings- och integrationsoperatorer .

En av de stora anledningarna till att Lebesgue-integralen används är att det existerar satser, såsom den dominerade konvergenssatsen , som ger tillräckliga förhållanden under vilka integration och gränsdrift kan bytas ut. Nödvändiga och tillräckliga villkor för detta utbyte upptäcktes av Federico Cafiero .

Lista över relaterade satser

• Utbyte av gränser:
  • Moore-Osgood-satsen
• Utbyte av gräns och oändlig summering:
  • Tannerys teorem
• Utbyte av partiella derivator:
  • Schwarz' teorem
• Utbyte av integraler:
  • Fubinis sats
• Utbyte av gräns och integral:
  • Dominerad konvergenssats
  • Vitalis konvergenssats
  • Ficheras konvergenssats
  • Cafieros konvergenssats
  • Fatous lemma
  • Monotona konvergenssats för integraler (Beppo Levis lemma)
• Utbyte av derivata och integral:
  • Leibniz integralregel

Se även

• Itererad gräns
• Enhetlig konvergens