Kvaternions historia

Quaternion plakett på Brougham (Broom) Bridge , Dublin , som säger:

Här när han gick förbi den 16 oktober 1843 upptäckte Sir William Rowan Hamilton i en blixt av geni den grundläggande formeln för kvartärnionmultiplikation

i ² = j ² = k ² = ijk = −1

& skär den på en sten av den här bron.

Inom matematiken är kvaternioner ett icke - kommutativt talsystem som utökar de komplexa talen . Quaternions och deras tillämpningar på rotationer beskrevs först i tryck av Olinde Rodrigues i allt utom namn 1840, men upptäcktes oberoende av den irländska matematikern Sir William Rowan Hamilton 1843 och tillämpades på mekanik i tredimensionellt rymd. De hittar användningsområden i både teoretisk och tillämpad matematik, särskilt för beräkningar som involverar tredimensionella rotationer.

Hamiltons upptäckt

1843 visste Hamilton att de komplexa talen kunde ses som punkter i ett plan och att de kunde adderas och multipliceras med hjälp av vissa geometriska operationer. Hamilton försökte hitta ett sätt att göra detsamma för poäng i rymden . Punkter i rymden kan representeras av deras koordinater, som är tripplar av tal och har en uppenbar addition, men Hamilton hade svårt att definiera lämplig multiplikation.

Enligt ett brev skrev Hamilton senare till sin son Archibald:

Varje morgon i början av oktober 1843, när jag kom ner till frukost, brukade din bror William Edwin och du själv fråga mig: "Ja, pappa, kan du multiplicera tre gånger?" Varpå jag alltid var tvungen att svara, med en sorgsen skakning på huvudet, "Nej, jag kan bara lägga till och subtrahera dem."

Den 16 oktober 1843 tog Hamilton och hans fru en promenad längs Royal Canal i Dublin . Medan de gick över Brougham Bridge (nuvarande Broom Bridge ) kom en lösning plötsligt upp för honom. Medan han inte kunde "multiplicera trippel", såg han ett sätt att göra det för fyrdubblar . Genom att använda tre av talen i fyrfalden som punkter för en koordinat i rymden, kunde Hamilton representera punkter i rymden med sitt nya talsystem. Han ristade sedan in de grundläggande reglerna för multiplikation i bron:

i ² = j ² = k ² = ijk = −1

Hamilton kallade en quadruple med dessa multiplikationsregler för en quaternion , och han ägnade resten av sitt liv åt att studera och lära ut dem. Från 1844 till 1850 Philosophical Magazine Hamiltons utläggning av quaternions. År 1853 gav han ut föreläsningar om kvaternioner , en omfattande avhandling som också beskrev biquaternions . Möjligheten för algebra att uttrycka geometriska samband ledde till bred acceptans av metoden, flera kompositioner av andra författare och stimulering av tillämpad algebra generellt. Eftersom matematisk terminologi har vuxit sedan den tiden, och användningen av vissa termer har förändrats, hänvisas de traditionella uttrycken till klassiska Hamiltonska kvaternioner .

Föregångare

Hamiltons innovation bestod i att uttrycka quaternioner som en algebra över R . Formlerna för multiplikationen av kvaternioner är implicita i formeln med fyra kvadrater som utarbetades av Leonhard Euler 1748; Olinde Rodrigues tillämpade denna formel för att representera rotationer 1840.

Svar

De speciella anspråken på quaternions som algebra för det fyrdimensionella rummet utmanades av James Cockle med sina utställningar 1848 och 1849 av tessariner och coquaternions som alternativ. Ändå fanns dessa nya algebror från Cockle i själva verket inuti Hamiltons biquaternions . Från Italien Giusto Bellavitis 1858 för att koppla samman Hamiltons vektorteori med hans teori om ekvivalenter av riktade linjesegment.

Jules Hoüel ledde svaret från Frankrike 1874 med en lärobok om elementen i quaternions. För att underlätta studiet av versors introducerade han "biradials" för att beteckna stora cirkelbågar på sfären. Sedan utgjorde quaternionalgebra grunden för sfärisk trigonometri som introducerades i kapitel 9. Hoüel ersatte Hamiltons basvektorer i , j , k med i ₁ , i ₂ och i ₃ .

Mångfalden av tillgängliga teckensnitt ledde Hoüel till en annan notationsinnovation: A betecknar en punkt, a och a är algebraiska storheter och i ekvationen för en kvaternion

${\mathcal {A}}=\cos \alpha +\mathbf {A} \sin \alpha ,$

A är en vektor och α är en vinkel. Denna stil av quaternion-utläggningen förevigades av Charles-Ange Laisant och Alexander Macfarlane .

William K. Clifford utökade typerna av biquaternions och utforskade elliptiska rymden , en geometri där punkterna kan ses som versors. Fascinationen för quaternions började innan språket för mängdlära och matematiska strukturer var tillgängligt. I själva verket fanns det lite matematisk notation före Formulario mathematico . Kvaternionerna stimulerade dessa framsteg: Till exempel, idén om ett vektorrum lånade Hamiltons term men ändrade dess innebörd. Enligt den moderna förståelsen är varje quaternion en vektor i fyrdimensionell rymd. (Hamiltons vektorer ligger i delrummet med skalär del noll.)

Eftersom quaternions kräver sina läsare att föreställa sig fyra dimensioner, finns det en metafysisk aspekt av deras åkallande. Kvaternioner är ett filosofiskt objekt . Att sätta quaternions inför förstaårsstudenter i ingenjörsvetenskap kräver för mycket. Ändå kräver användbarheten av prickprodukter och korsprodukter i tredimensionellt rum , för att illustrera processer, användningen av dessa operationer som skärs ut ur quaternionprodukten. Således Willard Gibbs och Oliver Heaviside detta boende, för pragmatism, för att undvika den distraherande överbyggnaden.

För matematiker blev quaternionstrukturen bekant och förlorade sin status som något matematiskt intressant. Sålunda i England, när Arthur Buchheim förberedde en artikel om biquaternions, publicerades den i American Journal of Mathematics eftersom någon nyhet i ämnet dröjde kvar där. Forskning övergick till hyperkomplexa siffror mer generellt. Till exempel Thomas Kirkman och Arthur Cayley att antalet ekvationer mellan basvektorer skulle vara nödvändigt för att bestämma ett unikt system. Det breda intresse som quaternions väckte runt om i världen resulterade i Quaternion Society . I samtida matematik exemplifierar divisionsringen av quaternions en algebra över ett fält .

Huvudsakliga publikationer

• 1853 Föreläsningar om Quaternions
• 1866 Elements of Quaternions
• 1873 Elementary Treatise av Peter Guthrie Tait
• 1874 Jules Hoüel : Éléments de la Théorie des Quaternions
• 1878 Abbott Lawrence Lowell : Quadrics: Harvard-avhandling:
• 1882 Tait och Philip Kelland : Inledning med exempel
• 1885 Arthur Buchheim : Biquaternions
• 1887 Valentin Balbin: (spanska) Elementos de Calculo de los Cuaterniones , Buenos Aires
• 1899 Charles Jasper Joly : Elements vol 1, vol 2 1901
• 1901 Vector Analysis av Willard Gibbs och Edwin Bidwell Wilson (kvarternionidéer utan kvartjoner)
• 1904 Cargill Gilston Knott : tredje upplagan av Kelland och Taits lärobok
• 1904 Bibliografi utarbetad för Quaternion Society av Alexander Macfarlane
• 1905 CJ Joly's Manual for Quaternions
• 1940 Julian Coolidge i A History of Geometrical Methods , sidan 261, använder Hamiltons operatörers koordinatfria metoder och citerar AL Lawrences arbete vid Harvard. Coolidge använder dessa operatorer på dubbla kvaternioner för att beskriva skruvförskjutning i kinematik .

Oktonioner

Huvudartikel: octonion

Octonions utvecklades oberoende av Arthur Cayley 1845 och John T. Graves , en vän till Hamilton. Graves hade intresserat Hamilton för algebra och svarade på hans upptäckt av quaternions med "Om du med din alkemi kan göra tre pund guld [de tre imaginära enheterna], varför skulle du stanna där?"

Två månader efter Hamiltons upptäckt av quaternion skrev Graves Hamilton den 26 december 1843 och presenterade en sorts dubbelkvarternion som kallas en oktonion , och visade att de var vad vi nu kallar en normerad divisionsalgebra ; Graves kallade dem oktaver . Hamilton behövde ett sätt att skilja mellan två olika typer av dubbla kvaternioner, de associativa biquaternionerna och oktaverna. Han talade om dem till Royal Irish Society och krediterade sin vän Graves för upptäckten av den andra typen av dubbel quaternion. observerade som svar att de inte var associativa , vilket kan ha varit konceptets uppfinning. Han lovade också att få Graves verk publicerat, men gjorde lite åt det; Cayley, som arbetar oberoende av Graves, men inspirerad av Hamiltons publicering av sitt eget verk, publicerades på octonions i mars 1845 – som en bilaga till en artikel om ett annat ämne. Hamilton blev stucken i att protestera mot Graves prioritet när det gäller upptäckt, om inte publicering; ändå är oktonjoner kända under det namn som Cayley gav dem – eller som Cayley-nummer .

Den största slutsatsen från förekomsten av oktonioner var åtta kvadratsatsen , som följer direkt av produktregeln från oktonioner, hade också tidigare upptäckts som en rent algebraisk identitet, av Carl Ferdinand Degen 1818. Denna kvadratsumma-identitet är kännetecknande för sammansättningsalgebra , ett särdrag för komplexa tal, kvartjoner och oktonjoner.

Matematisk användning

Huvudartikel: quaternions

Kvaternioner fortsatte att vara en välstuderad matematisk struktur under 1900-talet, som den tredje termen i Cayley-Dickson-konstruktionen av hyperkomplexa talsystem över realerna, följt av oktonionerna och sedenionerna ; de är också ett användbart verktyg i talteorin , särskilt i studiet av representationen av tal som summor av kvadrater. Gruppen med åtta basenhetskvarternioner, positiva och negativa, kvartjongruppen , är också den enklaste icke-kommutativa Sylow-gruppen .

Studiet av integralkvarternioner började med Rudolf Lipschitz 1886, vars system senare förenklades av Leonard Eugene Dickson ; men det moderna systemet publicerades av Adolf Hurwitz 1919. Skillnaden mellan dem består av vilka kvarternioner som räknas som integral: Lipschitz inkluderade endast de kvarternioner med integrala koordinater, men Hurwitz lade till de kvarternioner vars alla fyra koordinater är halvheltal . Båda systemen är stängda under subtraktion och multiplikation, och är därför ringar , men Lipschitzs system tillåter inte unik faktorisering, medan Hurwitzs gör det.

Kvaternioner som rotationer

Huvudartikel: Kvaternioner och rumslig rotation

Kvaternioner är en kortfattad metod för att representera automorfismerna i tre- och fyrdimensionella utrymmen. De har den tekniska fördelen att enhetskvarternioner bildar det enkelt anslutna täcket av utrymmet för tredimensionella rotationer.

Av denna anledning används kvaternioner i datorgrafik , styrteori , robotik , signalbehandling , attitydkontroll , fysik , bioinformatik och orbitalmekanik . Till exempel är det vanligt att rymdfarkosters attitydkontrollsystem beordras i termer av quaternions. Tomb Raider (1996) nämns ofta som det första massmarknadsdatorspelet som har använt quaternions för att uppnå jämn 3D-rotation. Kvaternioner har fått ytterligare ett uppsving från talteorin på grund av deras förhållande till kvadratiska former .

Minnesmärke

Sedan 1989 har institutionen för matematik vid National University of Ireland, Maynooth organiserat en pilgrimsfärd, där forskare (inklusive fysikerna Murray Gell-Mann 2002, Steven Weinberg 2005, Frank Wilczek 2007 och matematikern Andrew Wiles ) tar 2000 personer. en promenad från Dunsink Observatory till Royal Canal-bron där det tyvärr inte finns några spår av Hamiltons ristningar kvar.

•    Baez, John C. (2002), "The Octonions", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-041-0093 -X , MR 1886087 , S2CID 586512
• GH Hardy och EM Wright , Introduktion till talteori . Många upplagor.
• Johannes C. Familton (2015) Quaternions: A History of Complex Non-commutative Rotation Groups in Theoretical Physics , Ph.D. avhandling vid Columbia University Department of Mathematics Education.