Carl Ferdinand Degen

Carl Ferdinand Degen (1 november 1766 – 8 april 1825) var en dansk matematiker . Hans viktigaste bidrag låg inom talteorin och han gav den unge, blivande norske matematikern Niels Henrik Abel råd på ett avgörande sätt. Degen har fått mycket av äran för införandet av mer modern och avancerad matematik i det dansk-norska skolsystemet.

Han föddes i Braunschweig i Tyskland , men familjen flyttade till Köpenhamn 1771 då hans far Johan Philip Degen fick en tjänst i Det Kongelige Danske Orkester . Som musiker hade han låg lön, men sonen Carl Ferdinand fick ett stipendium för att han skulle kunna gå i skola i Helsingör . Han tog examen därifrån 1783 och fortsatte vid Köpenhamns universitet . Istället för att följa den normala studievägen följde den unge Degen sina egna intressen och läste klassiska språk , filosofi , naturvetenskap och i synnerhet matematik . När universitetet 1792 för första gången utlyste en prisuppsatstävling inom flera olika områden med en utmärkelse på 40 riksdaler i varje, vann Degen priset både i teologi och i matematik. Han var flytande i latin , grekiska och hebreiska , var väl förtrogen med romanska och germanska språk och kunde läsa ryska och polska . Under denna period var han lärare i matematik för den unge prinsen som senare blev kung Christian VIII av Danmark . År 1798 utnämndes Degen till filosofie doktor baserat på en avhandling om Kants filosofi och valdes in i Kungliga Danska Vetenskapsakademien 1800.

1802 fick Degen sin första akademiska position som rektor i matematik och fysik vid Odense katedralskola . Efter några år där utnämndes han till rektor vid motsvarande skola i Viborg . Där stannade han till 1814 då han blev professor i matematik vid Köpenhamns universitet. Även om hans föreläsningar inte var så välorganiserade, var han älskad av sina elever och han ingjutit kurserna med ny och modernare matematik. Samtidigt drev han egen forskning och publicerade resultat i många olika riktningar. Allt detta gjorde honom till den mest uppskattade matematikern i Skandinavien på den tiden.

När Niels Henrik Abel som student besökte Degen i Köpenhamn beskrev han honom som väldigt snäll, men lite märklig, med ett stort, privat bibliotek. Degen stannade där till sin död 1825. Av den anledningen fick han inte se den stora berömmelse som den unge Abel kort därefter fick av sin upptäckt av elliptiska funktioner som Degen hade uppmuntrat. Han är begravd på Assistens Kirkegård på Nørrebro i Köpenhamn.

Matematiska bidrag

Degen arbetade inom många grenar av dåvarande modern matematik. De flesta av hans bidrag hade att göra med problem inom talteorin , men han skrev också uppsatser om geometri och mekanik .

Pells ekvation

1817 fick Degen tryckt sitt stora arbete om de grundläggande lösningarna ( x , y ) av Pells ekvation x ² – ny ² = 1 där n är ett positivt heltal. Euler hade tidigare visat att dessa kunde beräknas systematiskt med hjälp av fortsatta fraktioner . Degen använde denna metod och presenterade heltalslösningar för alla n < 1000. Samma beräkningar gav också ungefärliga, men mycket exakta rationella resultat för kvadratroten ur n . Dessutom hittade han också lösningar av adjointekvationen med −1 på höger sida för n -värdena när de fanns. Dessa tabeller med numeriska resultat blev under de följande åren en standardreferens för Pell-ekvationen.

Den åtta kvadratiska identiteten

Medan hans arbete med Pell-ekvationen kan betraktas som en fortsättning på tidigare bidrag från Euler , Lagrange och Legendre till detta problem, var Degens upptäckt av den åtta kvadratiska identiteten hans viktigaste och mest ursprungliga upptäckt. Antagligen berodde det på hans försök att generalisera Pell-ekvationen.

Den två kvadratiska identiteten

$(a^{2}+b^{2})(c ^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$

Diophantus tider . I slutet av 1600-talet förklarade det varför normen av produkten av två komplexa tal är lika med produkten av deras normer . Ungefär samtidigt visade Euler att det också finns en liknande fyrkantig identitet . Senare visade det sig vara relaterat till normen för quaternions som upptäcktes av William Rowan Hamilton . År 1818 presenterade Degen för Vetenskapsakademien i St. Petersburg där Euler hade arbetat, sin åtta kvadratiska identitet av exakt samma struktur som de två tidigare identiteterna. Året därpå valdes han in som "motsvarande medlem" i samma akademiska sällskap.

Hans arbete på den åtta kvadratiska identiteten publicerades första gången 1822. Nästan trettio år senare återupptäcktes hans identitet av John T. Graves och Arthur Cayley som lydde av normen för oktonioner . Dessa var en förlängning av Hamiltons quaternions. År 1898 Adolf Hurwitz att sådana identiteter som involverar 2 ^k kvadrater endast kan existera för k = 0, 1, 2 och 3 .

Mötet med Abel

År 1821 var Niels Henrik Abel en mycket begåvad elev under sitt sista år vid katedralskolan i Oslo . Han var övertygad om att han hade hittat ett sätt att lösa den kvintiska ekvationen . Ingen av hans lärare eller professorer vid universitetet i Oslo kunde hitta något fel på hans arbete. Astronomiprofessorn Christopher Hansteen rekommenderade då att uppsatsen borde publiceras av Science Academy i Köpenhamn. Det kom alltså i händerna på Degen för att utvärderas. Han kunde återigen inte peka ut några misstag, men bad att denna nya metod först skulle prövas på ett praktiskt exempel. I ett brev till Hansteen föreslog han ekvationen x ⁵ − 2 x ⁴ + 3 x ² − 4 x + 5 = 0. Han avslutade brevet med önskan att

.... den tid och kraft som herr Abel i mina ögon lägger på detta ganska sterila ämne borde satsas på ett problem vars utveckling kommer att få de största konsekvenserna för matematisk analys och dess tillämpningar på praktiska undersökningar. Jag syftar på elliptiska transcendentals. En seriös forskare med lämpliga kvalifikationer för forskning av detta slag skulle ingalunda vara begränsad till de många märkliga och vackra egenskaperna hos dessa mest anmärkningsvärda funktioner, utan kunde upptäcka ett Magellansund som leder in i ett vidsträckt analytiskt hav.

Detta skulle snart visa sig vara ett mycket profetiskt råd. Abel själv upptäckte snart ett misstag i sina undersökningar av den kvintiska ekvationen, men fortsatte att arbeta med att det fanns lösningar. Två år senare kunde han bevisa att de i allmänhet inte har några algebraiska lösningar .

Degens rekommendation att istället koncentrera sig på den elliptiska integralen hade med största sannolikhet gjort ett visst intryck på den unge studenten. Sommaren 1823 var Abel på ett kort besök i Köpenhamn där han träffade Degen. I ett brev till sin vän och tidigare lärare Bernt Michael Holmboe i Oslo skrev han att han hade konstruerat elliptiska funktioner genom att invertera motsvarande integraler . Året därpå kunde han i ett brev till Degen rapportera att dessa nya funktioner hade två perioder . Även om denna upptäckt markerar början på en ny och mycket viktig gren av modern matematik, väntade Abel med publiceringen av sina resultat. Det hände först 1827. Degen hade under tiden dött och var därför omedveten om de vackra upptäckter Abel hade gjort och som han hade profeterat.