Kvasicirkel

I matematik är en kvasicirkel en Jordan-kurva i det komplexa planet som är bilden av en cirkel under en kvasikonform avbildning av planet på sig själv. Ursprungligen introducerades oberoende av Pfluger (1961) och Tienari (1962), i den äldre litteraturen (på tyska) hänvisades de till som quasiconformal curves , en terminologi som också gällde för bågar . I komplex analys och geometrisk funktionsteori spelar kvasicirklar en grundläggande roll i beskrivningen av det universella Teichmüller-rummet , genom kvasisymmetriska homeomorphisms av cirkeln. Kvasicirklar spelar också en viktig roll i komplexa dynamiska system .

Definitioner

En kvasicirkel definieras som bilden av en cirkel under en kvasikonform avbildning av det utökade komplexa planet . Det kallas en K -kvasicirkel om den kvasikonforma avbildningen har dilatation K . Definitionen av kvasicirkel generaliserar karakteriseringen av en Jordan-kurva som bilden av en cirkel under en homeomorfism av planet. I synnerhet är en kvasicirkel en Jordan-kurva. Det inre av en kvasicirkel kallas en kvasidisk .

Som visas i Lehto & Virtanen (1973) , där den äldre termen "kvasikonformal kurva" används, om en Jordan-kurva är bilden av en cirkel under en kvasikonformal karta i ett område av kurvan, så är det också bilden av en cirkel under en kvasikonform avbildning av det utökade planet och därmed en kvasicirkel. Detsamma gäller för "kvasikonforma bågar" som kan definieras som kvasikonforma bilder av en cirkelbåge antingen i en öppen uppsättning eller ekvivalent i det förlängda planet.

Geometriska karakteriseringar

Ahlfors (1963) gav en geometrisk karakterisering av kvasicirklar som de Jordan-kurvor för vilka det absoluta värdet av korsförhållandet för vilka fyra punkter som helst, taget i cyklisk ordning, begränsas nedanför av en positiv konstant.

Ahlfors bevisade också att kvasicirklar kan karakteriseras i termer av en omvänd triangelolikhet för tre punkter: det bör finnas en konstant C så att om två punkter väljs z ₁ och z _{2 på kurvan och} z ₃ ligger på den kortaste av den resulterande bågar alltså

$|z_{1}-z_{3}|+|z_{2}-z_{3}|\leq C|z_{1}-z_{2}|.$

Denna egenskap kallas också för avgränsad svängning eller bågvillkoret .

För Jordan-kurvor i det utsträckta planet som passerar genom ∞ gav Ahlfors (1966) ett enklare nödvändigt och tillräckligt villkor för att vara en kvasicirkel. Det finns en konstant C > 0 så att om z ₁ , z ₂ är några punkter på kurvan och z ₃ ligger på segmentet mellan dem, då

$\displaystyle {\left|z_{3}-{z_{1}+z_{2} \over 2}\right|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}$

Dessa metriska karakteriseringar innebär att en båge eller sluten kurva är kvasikonform när den uppstår som bilden av ett intervall eller cirkeln under en bi-Lipschitz-karta f , dvs.

$C_{1}|st|\leq |f(s)-f(t)|\leq C_{2}|st|$

för positiva konstanter Ci _.

Kvasicirklar och kvasisymmetriska homeomorfismer

Om φ är en kvasisymmetrisk homeomorfism av cirkeln, så finns det konforma kartor f av [ z | < 1 och g av | z |>1 i disjunkta områden så att komplementet av bilderna av f och g är en Jordan-kurva. Kartorna f och g sträcker sig kontinuerligt till cirkeln | z | = 1 och sömnadsekvationen

$\varphi =g^{-1}\circ f$

håller. Bilden av cirkeln är en kvasicirkel.

Omvänt, med hjälp av Riemanns kartläggningssats , ger de konforma kartorna f och g som uniformerar utsidan av en kvasicirkel upphov till en kvasisymmetrisk homeomorfism genom ovanstående ekvation.

Kvosymmetriska homeomorfismers kvotutrymme av undergruppen Möbius-transformationer ger en modell av universellt Teichmüller-rum . Ovanstående korrespondens visar att utrymmet av kvasicirklar också kan tas som modell.

Kvasikonformell reflektion

En kvasikonform reflektion i en Jordan-kurva är en orienteringsreverserande kvasikonform karta över period 2 som växlar insidan och utsidan av kurvans fästpunkter på kurvan. Sedan kartan

$\displaystyle {R_{0}(z)={1 \over {\overline {z}}}}$

ger en sådan reflektion för enhetscirkeln, medger varje kvasicirkel en kvasikonform reflektion. Ahlfors (1963) bevisade att denna egenskap kännetecknar kvasicirklar.

Ahlfors noterade att detta resultat kan appliceras på enhetligt bundna holomorfa univalenta funktioner f ( z ) på enhetsskivan D. Låt Ω = f ( D ). Som Carathéodory hade visat med hjälp av sin teori om primtalsändar , sträcker sig f kontinuerligt till enhetscirkeln om och endast om ∂Ω är lokalt ansluten, dvs. tillåter en täckning av ändligt många kompakta sammankopplade uppsättningar med godtyckligt liten diameter. Förlängningen av cirkeln är 1-1 om och endast om ∂Ω inte har några skärpunkter, dvs punkter som när de tas bort från ∂Ω ger en frånkopplad mängd. Carathéodorys teorem visar att en lokalt inställd utan skärpunkter bara är en Jordan-kurva och att i just detta fall är förlängningen av f till den slutna enhetsskivan en homeomorfism. Om f sträcker sig till en kvasikonform avbildning av det utökade komplexa planet så är ∂Ω per definition en kvasicirkel. Omvänt Ahlfors (1963) att om ∂Ω är en kvasicirkel och R ₁ betecknar den kvasikonforma reflektionen i ∂Ω så är tilldelningen

$\displaystyle {f(z)=R_{1}fR_{0}(z)}$

för | z | > 1 definierar en kvasikonform förlängning av f till det utökade komplexa planet.

Komplexa dynamiska system

Koch snöflinga

Kvasicirklar var kända för att uppstå som Julia-uppsättningarna av rationella kartor R ( z ). Sullivan (1985) bevisade att om Fatou-mängden av R har två komponenter och verkan av R på Julia-mängden är "hyperbolisk", dvs det finns konstanter c > 0 och A > 1 så att

$|\partial _{z}R^{n}(z)|\geq cA^{n}$

på Julia-uppsättningen, då är Julia-uppsättningen en kvasicirkel.

Det finns många exempel:

• kvadratiska polynom R ( z ) = z ² + c med en attraherande fixpunkt
• Douady -kaninen ( c = –0,122561 + 0,744862i, där c ³ + 2 c ² + c + 1 = 0)
• andragradspolynom z ² + λ z med |λ| < 1
• Koch snöflinga

Kvasi-fuchsiska grupper

Kvasi-fuchsiska grupper erhålls som kvasikonforma deformationer av fuchsiska grupper . Per definition är deras gränsuppsättningar kvasicirklar.

Låt Γ vara en fuchsisk grupp av det första slaget: en diskret undergrupp av Möbiusgruppen som bevarar enhetscirkeln. agerar korrekt diskontinuerligt på enhetsskivan D och med gränsställ enhetscirkeln.

Låt μ( z ) vara en mätbar funktion på D med

$\|\mu \|_{\infty }<1$

så att μ är Γ-invariant, dvs

$\mu (g(z)){{\överlinje {\partial _{z}g(z )}} \over \partial _{z}g(z)}=\mu (z)$

för varje g i Γ. (μ är alltså en "Beltrami-differential" på Riemann-ytan D / Γ.)

Utöka μ till en funktion på C genom att ställa in μ( z ) = 0 av D .

Beltramis ekvation

$\partial _{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial _{z}f(z )$

medger en lösning som är unik upp till komposition med en Möbius-transformation.

Det är en kvasikonformal homeomorfism av det utökade komplexa planet.

Om g är ett element av Γ, så ger f ( g ( z )) en annan lösning av Beltramis ekvation, så att

$\alpha (g)=f\circ g\circ f^{-1}$

är en Möbius-förvandling.

Gruppen α(Γ) är en kvasi-fuchsisk grupp med gränssättning den kvasicirkel som ges av bilden av enhetscirkeln under f .

Hausdorff dimension

Douady -kaninen är sammansatt av kvasicirklar med Hausdorff-dimensionen ungefär 1,3934

Det är känt att det finns kvasicirklar för vilka inget segment har ändlig längd. Hausdorff -dimensionen av kvasicirklar undersöktes först av Gehring & Väisälä (1973), som bevisade att den kan ta alla värden i intervallet [1,2). Astala (1993) kunde med hjälp av den nya tekniken "holomorfa rörelser" uppskatta förändringen i Hausdorff-dimensionen för vilken plan uppsättning som helst under en kvasikonform karta med dilatation K . För kvasicirklar C fanns det en grov uppskattning för Hausdorff-dimensionen

$d_{H}(C)\leq 1+k$

var

$k={K-1 \över K+1}.$

Å andra sidan, Hausdorff-dimensionen för Julia _- uppsättningarna Jc av iteraten för de rationella kartorna

$R(z)=z^{2}+c$

Rufus Bowens och David Ruelles arbete, som visade det

$1<d_{H}(J_{c})<1+{|c|^{2} \over 4\log 2}+o(|c|^{2}).$

Eftersom dessa är kvasicirklar som motsvarar en dilatation

$K={\sqrt {1+t \over 1-t}}$

var

$t=|1-{\sqrt {1-4c}}|,$

detta fick Becker & Pommerenke (1987) att visa att för k liten

$1+0,36k^{2}\leq d_{H}(C)\leq 1+37k^{2}.$

Efter att ha förbättrat den nedre gränsen efter beräkningar för Koch-snöflingan med Steffen Rohde och Oded Schramm , antog Astala (1994) att

$d_{H}(C)\leq 1+k^{2}.$

Denna gissning bevisades av Smirnov (2010) ; en fullständig redogörelse för hans bevis, före publicering, gavs redan i Astala, Iwaniec & Martin (2009) .

För en kvasi-fuchsisk grupp Bowen (1978) och Sullivan (1982) visade att Hausdorff-dimensionen d för gränsuppsättningen alltid är större än 1. När d < 2 är kvantiteten

$\lambda =d(2-d)\,\in (0,1)$

är det lägsta egenvärdet för Laplacian för motsvarande hyperboliska 3-grenrör .

Anteckningar

• Ahlfors, Lars V. (1966), Föreläsningar om kvasikonformella kartläggningar , Van Nostrand
•   Ahlfors, L. (1963), "Quasikonforma reflektioner", Acta Mathematica , 109 : 291–301, doi : 10.1007/bf02391816 , Zbl 0121.06403
•    Astala, K. (1993), "Förvrängning av område och dimension under kvasikonformella kartläggningar i planet", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 90 (24): 11958–11959, Bibcode : 1993PNAS...9011958A , doi : 10.1073/pnas.90.24.11958 , PMC 48104 , PMID 11607477
• Astala, K.; Zinsmeister, M. (1994), "Holomorphic familys of quasi-Fuchsian groups", Ergodic Theory Dynam. Systems , 14 (2): 207–212, doi : 10.1017/s0143385700007847
• Astala, K. (1994), "Area distortion of quasiconformal mappings", Acta Math. , 173 : 37–60, doi : 10.1007/bf02392568
•   Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2009), Elliptiska partiella differentialekvationer och kvasikonformella avbildningar i planet , Princeton matematisk serie, vol. 48, Princeton University Press, s. 332–342, ISBN 978-0-691-13777-3 , Avsnitt 13.2, Dimension of quasicircles.
• Becker, J.; Pommerenke, C. (1987), "On the Hausdorff dimension of quasicircles", Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math. , 12 : 329–333, doi : 10.5186/aasfm.1987.1206
•   Bowen, R. (1979), "Hausdorff dimension of quasicircles" , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matematik. , 50 : 11–25, doi : 10.1007/BF02684767 , S2CID 55631433
•   Carleson, L.; Gamelin, TDW (1993), Complex dynamics , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97942-7
•   Gehring, FW; Väisälä, J. (1973), "Hausdorff dimension and quasiconformal mappings", Journal of the London Mathematical Society , 6 (3): 504–512, CiteSeerX 10.1.1.125.2374 , doi : 10.1112/jlms/s2.506.
•   Gehring, FW (1982), Characteristic properties of quasidisks , Séminaire de Mathématiques Supérieures, vol. 84, Presses de l'Université de Montréal, ISBN 978-2-7606-0601-2
•   Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992), An Introduction to Teichmüller spaces , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-70088-5 +
•   Lehto, O. (1987), Univalent functions and Teichmüller spaces , Springer-Verlag, s. 50–59, 111–118, 196–205, ISBN 978-0-387-96310-5
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Quasiconformal mappings in the plane , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (andra upplagan), Springer-Verlag
•   Marden, A. (2007), Yttre cirklar. En introduktion till hyperboliska 3-grenrör , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7
•   Mumford, D.; Series, C.; Wright, David (2002), Indras pärlor. The vision of Felix Klein , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6
• Pfluger, A. (1961), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. Soc. , 24 : 401-412
• Rohde, S. (1991), "On conformal welding and quasicircles", Michigan Math. J. , 38 : 111–116, doi : 10.1307/mmj/1029004266
• Sullivan, D. (1982), "Diskreta konforma grupper och mätbar dynamik", Bull. Amer. Matematik. Soc. , 6 : 57–73, doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14966-7
•   Sullivan, D. (1985), "Quasiconformal homeomorphisms and dynamics, I, Solution of the Fatou-Julia problem on wandering domains", Annals of Mathematics , 122 (2): 401–418, doi : 10.2307/1971308 , J03STOR 871 , J03STOR 871
• Tienari, M. (1962), "Fortsetzung einer quasikonformen Abbildung über einen Jordanbogen", Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A , 321
•   Smirnov, S. (2010) , "Dimension of quasicircles", Acta Mathematica , 205 : 189–197, arXiv : 0904.1237 , doi : 10.1007/s11511-010-0053-8 , 72C 53-8 , 72C 59 7 , 72C