Univalent funktion

Inom matematiken , inom grenen av komplex analys , kallas en holomorf funktion på en öppen delmängd av det komplexa planet univalent om den är injektiv .

Exempel

Funktionen $f\colon z\mapsto 2z+z^{2}$ är univalent i den öppna enhetsskivan, eftersom $f (z)=f(w)$ innebär att $f(z)-f(w)=(zw) (z+w+2)=0$ . Eftersom den andra faktorn inte är noll i den öppna enhetsskivan måste ${\displaystyle f} vara injektiv.$

Grundläggande egenskaper

Man kan bevisa att om $G$ och $\Omega$ är två öppna sammankopplade mängder i det komplexa planet, och

f:G\to \Omega

är en univalent funktion så att $f(G)=\Omega$ (det vill säga $f$ är surjektiv ), då är derivatan av $f$ aldrig noll , $f$ är inverterbar , och dess invers $f^{-1}$ är också holomorf. Mer har man av kedjeregeln

(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z) }}

för alla $z$ i $G.$

Jämförelse med verkliga funktioner

För verkliga analytiska funktioner , till skillnad från för komplexa analytiska (det vill säga holomorfa) funktioner, stämmer inte dessa påståenden. Tänk till exempel på funktionen

f:(-1,1)\to (-1,1)\,

ges av ƒ ( x ) = x ³ . Denna funktion är tydligt injektiv, men dess derivata är 0 vid x = 0, och dess invers är inte analytisk, eller ens differentierbar, på hela intervallet (−1, 1). Följaktligen, om vi förstorar domänen till en öppen delmängd G av det komplexa planet, måste den inte vara injektiv; och detta är fallet, eftersom (till exempel) f (εω) = f (ε) (där ω är en primitiv kubrot av enhet och ε är ett positivt reellt tal som är mindre än radien för G som ett område av 0).

Se även

Notera

Conway, John B. (1995). "Konform likvärdighet för enkelt anslutna regioner" . Funktioner för en komplex variabel II . Examentexter i matematik. Vol. 159. doi : 10.1007/978-1-4612-0817-4 . ISBN 978-1-4612-6911-3 .
"Univalenta funktioner" . Källor i matematikens utveckling . 2011. s. 907–928. doi : 10.1017/CBO9780511844195.041 . ISBN 9780521114707 .
Duren, PL (1983). Univalenta funktioner . Springer New York, NY. sid. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0 .
Gong, Sheng (1998). Konvexa och stjärnliknande mappningar i flera komplexa variabler . doi : 10.1007/978-94-011-5206-8 . ISBN 978-94-010-6191-9 .
Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). "En anmärkning om separat holomorfi" . Studia Mathematica . 174 (3): 309–317. doi : 10.4064/SM174-3-5 . S2CID 15660985 .
Nehari, Zeev (1975). Konform kartläggning . New York: Dover Publications. sid. 146. ISBN 0-486-61137-X . OCLC 1504503 .

Den här artikeln innehåller material från univalent analytisk funktion på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Dela Lika-licensen .