Carathéodorys teorem (konform kartläggning)

Inom matematik är Carathéodorys sats en sats i komplex analys , uppkallad efter Constantin Carathéodory , som utvidgar Riemanns kartläggningssats . Teoremet, som först bevisades 1913, säger att varje konform kartläggning som skickar enhetsskivan till någon region i det komplexa planet som begränsas av en Jordan-kurva sträcker sig kontinuerligt till en homeomorfism från enhetscirkeln till Jordan-kurvan. Resultatet är ett av Carathéodorys resultat på primära ändar och gränsbeteendet för univalenta holomorfa funktioner.

Bevis för Carathéodorys sats

Det första beviset på Carathéodorys teorem som presenteras här är en sammanfattning av den korta fristående redogörelsen i Garnett & Marshall (2005, s. 14–15); det finns relaterade bevis i Pommerenke (1992) och Krantz (2006) .

Carathéodorys sats. Om f mappar den öppna enhetsskivan D konformt på en avgränsad domän U i C , så har f en kontinuerlig en-till-en-förlängning till den slutna enhetsskivan om och endast om ∂ U är en Jordan-kurva.

Om f medger en förlängning till en homeomorfism, så måste ∂ U vara en Jordan-kurva.

Omvänt om ∂ U är en Jordan-kurva, är det första steget att bevisa att f sträcker sig kontinuerligt till stängningen av D . I själva verket kommer detta att gälla om och endast om f är enhetligt kontinuerlig på D : för detta är sant om det har en kontinuerlig förlängning till stängningen av D ; och om f är likformigt kontinuerlig, är det lätt att kontrollera att f har gränser på enhetscirkeln och samma olikheter för likformig kontinuitet gäller vid stängning av D .

Antag att f inte är enhetligt kontinuerlig. I detta fall måste det finnas en ε > 0 och en punkt ζ på enhetscirkeln och sekvenserna z _n , w _n tenderar att ζ med | f ( z _n ) − f ( w _n )| ≥ 2ε. Detta visas nedan för att leda till en motsägelse, så att f måste vara likformigt kontinuerlig och därför har en kontinuerlig förlängning till stängningen av D .

För 0 < r < 1, låt γ _r vara kurvan som ges av cirkelbågen | z − ζ | = r liggande inom D . Då f ∘ γ _r en Jordan-kurva. Dess längd kan uppskattas med Cauchy–Schwarz-ojämlikheten :

$\displaystyle {\ell (f\circ \gamma _{r})=\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|\,|dz|\leq \ left(\int _{\gamma _{r}}\,|dz|\right)^{1/2}\cdot \left(\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime } (z)|^{2}\,|dz|\right)^{1/2}\leq (2\pi r)^{1/2}\cdot \left(\int _{\{\theta : |\zeta +re^{i\theta }|<1\}}|f^{\prime }(\zeta +re^{i\theta })|^{2}\,r\,d\theta \ höger)^{1/2}.}$

Därför finns det en "längd-area uppskattning":

$\displaystyle {\int _{0}^{1}\ell (f\circ \gamma _{r})^{2}\,{dr \over r}\leq 2\pi \int _{ |z|<1}|f^{\prime }(z)|^{2}\,dx\,dy=2\pi \cdot {\rm {Area}}\,f(D)<\infty . }$

Finiteten hos integralen på vänster sida innebär att det finns en sekvens r _n som minskar till 0 med $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ tenderar till 0. Men längden på en kurva g ( t ) för t i ( a , b ) ges av

$\displaystyle {\ell (g)=\sup _{a<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{k}<b}\sum _{i=1}^{k- 1}|g(t_{i+1})-g(t_{i})|.}$

Finiteten hos $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ innebär därför att kurvan har gränspunkter a _n , b _n i sina två ändar med | a _n – b _n | ≤ ${\displaystyle \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})} ,$ så detta avstånd, såväl som kurvans diameter, tenderar till 0. Dessa två gränspunkter måste ligga på ∂ U , eftersom f är en homeomorfism mellan D och U och därför måste en sekvens som konvergerar i U vara bilden under f av en sekvens som konvergerar i D . Genom antagande finns det en homeomorfism β mellan cirkeln ∂ D och ∂ U . Eftersom β ⁻¹ är likformigt kontinuerlig måste avståndet mellan de två punkterna ξ _n och η _n som motsvarar a _n och b _n i ∂ U tendera till 0. Så till slut är den minsta cirkelbågen i ∂ D som förenar ξ _n och η _n definierad. Beteckna τ _n bild av denna båge under β. Genom enhetlig kontinuitet av β tenderar diametern på τ _n i ∂ U till 0. Tillsammans bildar τ _n och f ∘ γ _{r n} en enkel Jordan-kurva. Dess inre U _n finns i U av Jordan-kurvans sats för ∂ U och ∂ U _n : för att se detta, lägg märke till att U är det inre av ∂ U , eftersom det är avgränsat, förbundet och det är både öppet och stängt i komplement till ∂ U ; så det yttre området av ∂ U är obegränsat, förbundet och skär inte ∂ U _n , därför är dess stängning innesluten i stängningen av det yttre av ∂ U _n ; tar vi komplement får vi önskad inkludering. Diametern på ∂ U _n tenderar till 0 eftersom diametrarna för τ _n och f ∘ γ _{r n} tenderar till 0. Därför tenderar diametern på U _n till 0. (För ${\bar) {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ är kompakt, därför innehåller ${\bar {U}}_{n}$ två punkter u och v så att avståndet mellan dem är maximalt. Det är lätt att se att u och v måste ligga i ∂ U och diametrarna på både U och ∂ U är lika $|uv|$ .)

Om nu Vn _anger skärningspunkten mellan D och skivan | z − ζ| < r _n , då för alla tillräckligt stora n f ( V _n ) = U _n . Faktum är att bågen γ _{r n} delar upp D i V _n och den komplementära regionen $V_{n}'$ , så under den konforma homeomorfismen f delar kurvan f ∘ γ _{r n} U i ${ \displaystyle f(V_{n})}$ och en komplementär region ${\displaystyle f(V_{n}')$ ; U _n är en ansluten komponent av U \ f ∘ γ _{r n} , eftersom den är ansluten och är både öppen och stängd i denna uppsättning, därför är $U_{n}$ lika med antingen $f(V_{n})$ eller $f(V_{n}')$ . Diametern på $f(V_{n}')$ minskar inte med ökande n , för $n<n'$ innebär ${ \displaystyle V_{n}'\subset V_{n'}'}$ . Eftersom diametern på U _n tenderar till 0 när n går till oändligheten, är den så småningom mindre än diametern på $f(V_{n}')$ och då nödvändigtvis f ( V _n ) = U _n .

Så diametern för f ( Vn _{) tenderar till 0. Å} andra sidan, övergår man till undersekvenser av ( _{zn )} och ₍ wn ) om nödvändigt, kan det antas att zn och wn _båda ligger i Vn . Men detta ger en motsägelse eftersom | f ( z _n ) − f ( w _n )| ≥ ε. Så f måste vara jämnt kontinuerlig på U .

Sålunda sträcker sig f kontinuerligt till stängningen av D. Eftersom f ( D ) = U , bär f genom kompakthet stängningen av D till stängningen av U och därmed ∂ D till ∂ U . Om f inte är en-ett finns det punkter u , v på ∂ D med u ≠ v och f ( u ) = f ( v ). Låt X och Y vara de radiella linjerna från 0 till u och v . Då f ( X ∪ Y ) en Jordan-kurva. Argumenterar som tidigare, dess inre V ingår i U och är en sammankopplad komponent av U \ f ( X ∪ Y ). Å andra sidan D \ ( X ∪ Y ) den disjunkta föreningen av två öppna sektorer W ₁ och W ₂ . Därför, för en av dem, säger W _{1 ,} f ( W ₁ ) = V . Låt Z vara delen av ∂ W ₁ på enhetscirkeln, så att Z är en sluten båge och f ( Z ) är en delmängd av både ∂ U och stängningen av V . Men deras skärningspunkt är en enda punkt och därför f konstant på Z . Genom Schwarz-reflektionsprincipen f analytiskt fortsätta genom konform reflektion över cirkelbågen. Eftersom icke-konstanta holomorfa funktioner har isolerade nollor, tvingar detta f att vara konstant, en motsägelse. Så f är en-ett och därav en homeomorfism på stängningen av D .

Två olika bevis för Carathéodorys sats beskrivs i Carathéodory (1954) och Carathéodory (1998) . Det första beviset följer Carathéodorys ursprungliga bevismetod från 1913 med hjälp av egenskaper hos Lebesgue-måttet på cirkeln: den kontinuerliga förlängningen av den inversa funktionen g av f till ∂ U motiveras av Fatous sats om gränsbeteendet för gränsade harmoniska funktioner på enhetsskivan . Det andra beviset är baserat på metoden av Lindelöf (1914) , där en skärpning av den maximala modulojämlikheten fastställdes för avgränsade holomorfa funktioner h definierade på en avgränsad domän V : om a ligger i V , då

| h ( a )| ≤ m ^t ⋅ M ^{1 − t} ,

där 0 ≤ t ≤ 1, M är den maximala modulen för h för sekventiella gränser på ∂ U och m är den maximala modulen för h för sekventiella gränser på ∂ U som ligger i en sektor centrerad på en vinkel 2π t vid a .

Kontinuerlig förlängning och Carathéodory-Torhorst-satsen

En förlängning av satsen säger att en konform isomorfism

$g\colon \mathbb {D} \to U$ ,

där $U$ är en enkelt ansluten delmängd av Riemann-sfären , sträcker sig kontinuerligt till enhetscirkeln om och endast om gränsen för U $\displaystyle U}$ är lokalt ansluten .

Detta resultat tillskrivs ofta också Carathéodory, men angavs och bevisades först av Marie Torhorst i hennes avhandling från 1918, under överinseende av Hans Hahn , med hjälp av Carathéodorys teori om prime ends . Mer exakt bevisade Torhorst att lokal anslutning är likvärdig med att domänen endast har prime ändar av det första slaget. Enligt teorin om primtal är den senare egenskapen i sin tur ekvivalent med att $g$ har en kontinuerlig förlängning.

Anteckningar

• Carathéodory, C. (1913a), "Zur Ränderzuordnung bei konformer Abbildung", Göttingen Nachrichten : 509–518
•     Carathéodory, C. (1913b), "Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis" , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 73 (2): 305–320, doi : 7/1010. BF01456720 , ISSN 0025-5831 , JFM 44.0757.01 , S2CID 117117051
• Carathéodory, C. (1954), Theory of functions of a complex variabel, Vol. 2 , översatt av F. Steinhardt, Chelsea
•   Carathéodory, C. (1998), Konform representation (omtryck av 1952 års andra upplaga) , Dover, ISBN 0-486-40028-X
• Lindelöf, E. (1914), "Sur la représentation conforme", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , Paris, 158 : 245–247
• Lindelöf, E. (1916), "Sur la représentation conforme d'une aire simplement connexe sur l'aire d'un cercle", 4th International Congress of Scandinavian Mathematicians , s. 59–90
•   Ahlfors, Lars V. (2010), Konformella invarianter: ämnen i geometrisk funktionsteori , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
•   Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic measure , New Mathematical Monographs, vol. 2, Cambridge University Press, ISBN 0-521-47018-8
• Goluzin, GM (1969), Geometrisk teori om funktioner för en komplex variabel , Translations of Mathematical Monographs, vol. 26, American Mathematical Society
•   Krantz, Steven G. (2006), Geometric function theory: explorations in complex analysis , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4339-7
•    Markushevich, AI (1977), Teori om funktioner för en komplex variabel. Vol. III , Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8284-0296-5 , MR 0444912
• Pommerenke, C. (1975), Univalenta funktioner, med ett kapitel om kvadratiska differentialer av Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht
•   Pommerenke, C. (1992), Boundary behavior of conformal maps , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 299, Springer, ISBN 3-540-54751-7
•    ) , "Carathéodory and conformal mapping", The Mathematical Intelligencer , 10 (1): 18–22, doi : 10.1007/BF03023846 , ISSN 0343-6993 , MR 09182659 41 , S82659  
• Whyburn, Gordon T. (1942), Analytic Topology , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 28, American Mathematical Society