Kvasikonformell kartläggning

Inom matematisk komplex analys är en kvasikonformell kartläggning , introducerad av Grötzsch (1928) och namngiven av Ahlfors (1935), en homeomorfism mellan plana domäner som till första ordningen tar små cirklar till små ellipser av avgränsad excentricitet .

Intuitivt, låt f : D → D ′ vara en orienteringsbevarande homeomorfism mellan öppna uppsättningar i planet. Om f är kontinuerligt differentierbar , då är det K -kvasikonform om derivatan av f vid varje punkt mappar cirklar till ellipser med excentricitet som begränsas av K .

Definition

Antag att f : D → D ′ där D och D ′ är två domäner i C . Det finns en mängd olika likvärdiga definitioner, beroende på vilken jämnhet som krävs för f . Om f antas ha kontinuerliga partiella derivator så är f kvasikonformal förutsatt att den uppfyller Beltramis ekvation

{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial f}{\partial z}},

()

för några komplexa värderade Lebesgue mätbara μ tillfredsställande sup |μ| < 1 ( Bers 1977 ). Denna ekvation tillåter en geometrisk tolkning. Utrusta D med den metriska tensorn

ds^{2}=\Omega (z)^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},

där Ω( z ) > 0. Då uppfyller f ( 1 ) precis när det är en konform transformation från D utrustad med detta mått till domänen D ′ utrustad med standard euklidisk mått. Funktionen f kallas då μ-konform . Mer generellt kan den kontinuerliga differentiabiliteten av f ersättas av det svagare villkoret att f finns i Sobolev-utrymmet W ^1,2 ( D ) för funktioner vars första ordningens distributionsderivata är i L ² ( D ) . I detta fall f är en svag lösning av ( 1 ). När μ är noll nästan överallt är all homeomorfism i W ^1,2 ( D ) som är en svag lösning av ( 1 ) konform.

Utan att vädja till ett hjälpmått, överväg effekten av tillbakadragningen under f för det vanliga euklidiska måttet. Det resulterande måttet ges sedan av

\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\ höger|^{2}

som, relativt den euklidiska bakgrundsmetriken $dzd{\bar {z}}$ , har egenvärden

(1+|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}},\qquad (1-| \mu |)^{2}\textstil {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}}.

Egenvärdena representerar den kvadratiska längden av ellipsens huvud- och biaxel som erhålls genom att dra tillbaka längs f enhetscirkeln i tangentplanet.

Följaktligen definieras dilatationen av f vid en punkt z av

K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.

Det (väsentliga) högsta värdet av K ( z ) ges av

K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}

och kallas dilatationen av f .

En definition baserad på begreppet extremallängd är följande. Om det finns en ändlig K så att för varje samling Γ av kurvor i D är den extrema längden av Γ som mest K gånger den extrema längden av { f o γ : γ ∈ Γ }. Då är f K -kvasikonformal.

Om f är K -kvasikonformal för någon finit K , så är f kvasikonformal.

Lite fakta om kvasikonformella mappningar

Om K > 1 så är kartorna x + iy ↦ Kx + iy och x + iy ↦ x + iKy båda kvasikonforma och har konstant dilatation K .

Om s > −1 så är kartan $z\mapsto z\,|z|^{s}$ är kvasikonformal (här är z ett komplext tal) och har konstant dilatation $\max(1 +s,{\frac {1}{1+s}})$ . När s ≠ 0 är detta ett exempel på en kvasikonformal homeomorfism som inte är jämn. Om s = 0 är detta helt enkelt identitetskartan.

En homeomorfism är 1-kvasikonform om och endast om den är konform. Därför är identitetskartan alltid 1-kvasikonformal. Om f : D → D ′ är K -kvasikonformal och g : D ′ → D ′′ är K ′-kvasikonformal, så är g o f KK ′-kvasikonformal. Inversen av en K -kvasikonformal homeomorfism är K -kvasikonformal. Uppsättningen av 1-kvasikonformella kartor bildar en grupp under sammansättning.

Utrymmet för K-kvasikonformella avbildningar från det komplexa planet till sig självt som kartlägger tre distinkta punkter till tre givna punkter är kompakt.

Mätbar Riemanns kartläggningssats

Av central betydelse i teorin om kvasikonformella kartläggningar i två dimensioner är Riemanns mätbara kartläggningssats, bevisad av Lars Ahlfors och Lipman Bers. Teoremet generaliserar Riemanns kartläggningssats från konforma till kvasikonformella homeomorfismer, och anges enligt följande. Antag att D är en enkelt ansluten domän i C som inte är lika med C , och antag att μ : D → C är Lebesgue mätbar och uppfyller $\|\mu \|_{\infty } <1$ . Sedan finns det en kvasikonformal homeomorfism f från D till enhetsskivan som är i Sobolev-utrymmet W ^1,2 ( D ) och uppfyller motsvarande Beltrami-ekvation ( 1 ) i fördelningsmässig mening . Precis som med Riemanns kartläggningssats är detta f unikt upp till 3 reella parametrar.

Beräkningsmässig kvasi-konform geometri

På senare tid har kvasikonform geometri väckt uppmärksamhet från olika områden, såsom tillämpad matematik, datorseende och medicinsk bildbehandling. Computational quasi-conformal geometri har utvecklats, vilket utökar den quasi-conformal teorin till en diskret miljö. Den har hittat olika viktiga tillämpningar inom medicinsk bildanalys, datorseende och grafik.

Se även

Ahlfors, Lars (1935), "Zur Theorie der Überlagerungsflächen", Acta Mathematica (på tyska), 65 ( 1 ): 157–194, doi : 10.1007 /BF02420945 , ISSN 0001-5962 , JFM 51.201.701.701 .
Ahlfors, Lars V. (2006) [1966], Lectures on quasiconformal mappings RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3644-6 , MR 2241787 , Zbl 1103.30001 , University Lecture Series, vol. 38 (2nd ed.), Providence , , (recensioner av den första upplagan: MR 020044 42 0200442 1003 1003 1003 1003 .
Bers, Lipman (1977), "Quasikonformella avbildningar, med tillämpningar på differentialekvationer, funktionsteori och topologi", Bull. Amer. Matematik. Soc. , 83 (6): 1083-1100, doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14390-5 , MR 0463433 .
Caraman, Petru (1974) [1968], n –Dimensional Quasiconformal (QCf) Mappings (reviderad utg.), București / Tunbridge Wells, Kent : Editura Academiei / Abacus Press, sid. 553, ISBN 0-85626-005-3 , MR 0357782 , Zbl 0342.30015 .
Grötzsch, Herbert (1928), "Über einige Extremalprobleme der konformen Abbildung. I, II.", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe (på tyska), 80 : 367–376, 497–502, JFM 54.0378.01 .
Heinonen, Juha (december 2006), "Vad är ... en kvasikonformell kartläggning?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 53 (11): 1334–1335, MR 2268390 , Zbl 1142.30322 .
Jones, Gareth Wyn; Mahadevan, L. (2013-05-08). "Planar morfometri, skjuvning och optimala kvasi-konforma mappningar" . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 469 (2153): 20120653. Bibcode : 2013RSPSA.46920653J . doi : 10.1098/rspa.2012.0653 . ISSN 1364-5021 . S2CID 123826235 .
Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Quasiconformal mappings in the plane , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (2nd ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag , s. VIII+258, ISBN 3-540-03303-3 , MR 0344463 , Zbl 0267.30016 (även tillgänglig som ISBN 0-3037-03 ) .
Morrey, Charles B. Jr. (1938), "On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations", Transactions of the American Mathematical Society, 43 ( 1): 126–166, doi : 10.2307/1989904 , JFM 62.0565. 02 , JSTOR 1989904 , MR 1501936 , Zbl 0018.40501 .
Papadopoulos, Athanase, red. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi : 10.4171/029 , ISBN 978-3-03719-029-6 , MR 2284826 .
Papadopoulos, Athanase, red. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5 , MR 2524085 .
Zorich, VA (2001) [1994], "Quasi-conformal mapping" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .