Kartläggning av klassgrupp av en yta

I matematik, och mer precist i topologi , är kartläggningsklassgruppen för en yta , ibland kallad den modulära gruppen eller Teichmüller modulära gruppen , gruppen av homeomorphisms av ytan sett upp till kontinuerlig (i den kompakta öppna topologin ) deformation. Det är av grundläggande betydelse för studiet av 3-grenrör via deras inbäddade ytor och studeras även i algebraisk geometri i relation till modulproblem för kurvor.

Kartläggningsklassgruppen kan definieras för godtyckliga grenrör (i själva verket för godtyckliga topologiska utrymmen) men den 2 - dimensionella miljön är den mest studerade inom gruppteorin .

Kartläggningsklassgruppen av ytor är relaterade till olika andra grupper, i synnerhet flätgrupper och yttre automorfismgrupper .

Historia

Kartläggningsklassgruppen dök upp under första hälften av 1900-talet. Dess ursprung ligger i studiet av topologin hos hyperboliska ytor, och särskilt i studiet av skärningspunkterna mellan slutna kurvor på dessa ytor. De tidigaste bidragsgivarna var Max Dehn och Jakob Nielsen : Dehn visade på en ändlig generation av gruppen, och Nielsen gav en klassificering av kartläggningsklasser och bevisade att alla automorfismer i den grundläggande gruppen av en yta kan representeras av homeomorfismer (Dehn–Nielsen–Baer) sats).

Dehn-Nielsen-teorin omtolkades i mitten av sjuttiotalet av Thurston som gav ämnet en mer geometrisk smak och använde detta arbete med stor effekt i sitt program för studiet av tre grenrör.

På senare tid har kartläggningsklassgruppen i sig självt varit ett centralt ämne inom geometrisk gruppteori , där den ger en testplats för olika gissningar och tekniker.

Definition och exempel

Kartläggning av klassgrupp av orienterbara ytor

Låt $S$ vara en ansluten , sluten , orienterbar yta och $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ gruppen av orienteringsbevarande eller positiva homeomorfismer av $S$ . Denna grupp har en naturlig topologi, den kompakta öppna topologin. Det kan enkelt definieras av en avståndsfunktion: om vi får en metrisk $d$ på $S$ som inducerar dess topologi, så kommer funktionen som definieras av

\delta (f,g)=\sup _{x\in S}\left(d(f) (x),g(x)\höger)

är ett avstånd som inducerar den kompakta öppna topologin på $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ . Den anslutna komponenten av identiteten för denna topologi betecknas $\operatorname {Homeo} _{0}(S)$ . Per definition är det lika med homeomorfismerna hos $S$ som är isotopiska för identiteten. Det är en normal undergrupp av gruppen positiva homeomorfismer, och avbildningsklassgruppen $S$ är gruppen

\operatörsnamn {Mod} (S)=\operatörsnamn {Homeo} ^{+}(S)/\operatörsnamn {Homeo} _{ 0}(S)

.

Detta är en räknebar grupp.

Om vi modifierar definitionen så att den inkluderar alla homeomorfismer får vi den utökade mappningsklassgruppen ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)} ,$ som innehåller mappningsklassgruppen som en undergrupp av index 2.

Denna definition kan också göras i den differentierbara kategorin: om vi ersätter alla instanser av "homeomorfism" ovan med " diffeomorfism " får vi samma grupp, det vill säga inkluderingen ${\ displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ inducerar en isomorfism mellan kvoterna genom deras respektive identitetskomponenter.

Kartläggningsklassgrupperna av sfären och torus

Antag att $S$ är enhetssfären i $\mathbb {R} ^{3}$ . Då är all homeomorfism av $S$ isotop till antingen identiteten eller till begränsningen till $S$ för symmetrin i planet $z=0$ . Den senare är inte orienteringsbevarande och vi ser att sfärens mappningsklassgrupp är trivial, och dess utökade mappningsklassgrupp är $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , cyklisk grupp av ordning 2.

Mappningsklassgruppen för torusen $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ är naturligt identifieras med den modulära gruppen $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ . Det är lätt att konstruera en morfism $\Phi :\operatörsnamn {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\till \operatörsnamn {Mod } (\mathbb {T} ^{2})$ : varje $A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ inducerar en diffeomorfism av $\mathbb {T} ^{2}$ via $x+\mathbb {Z} ^{2}\mapsto Ax+\mathbb {Z} ^{2 }$ . Verkan av diffeomorfismer på den första homologigruppen av $\mathbb {T} ^{2}$ ger en vänsterinvers $\Pi$ till morfismen $\Phi$ (bevisar i särskilt att den är injektiv) och det kan kontrolleras att $\Pi$ är injektiv, så att $\Pi ,\Phi$ är inversa isomorfismer mellan $\ operatornamn {Mod} (\mathbb {T} ^{2})$ och $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ . På samma sätt är den utökade mappningsklassgruppen för $\mathbb {T} ^{2}$ $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z } )$ .

Kartläggning av klassgrupp av ytor med gräns och punkteringar

I fallet där $S$ är en kompakt yta med en icke-tom gräns $\partial S$ måste definitionen av mappningsklassgruppen vara mer exakt. Gruppen $\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)$ av homeomorfismer relativt gränsen är undergruppen av $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ som begränsar till identiteten på gränsen, och undergruppen $\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)$ är den anslutna komponenten av identiteten. Mappningsklassgruppen definieras då som

\operatorname {Mod} (S)=\operatörsnamn {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatörsnamn {Homeo} _{0}(S,\partial S)

.

En yta med punkteringar är en kompakt yta med ett ändligt antal punkter borttagna ("punkteringar"). Mappningsklassgruppen för en sådan yta definieras enligt ovan (observera att mappningsklasserna får permutera punkteringarna, men inte gränskomponenterna).

Kartläggning av klassgrupp av en annulus

Varje annulus är homeomorf till delmängden $A_{0}=\{1\leq |z|\leq 2\}$ av $\mathbb {C}$ . Man kan definiera en diffeomorfism $\tau _{0}$ med följande formel:

\tau _{0}(z)=e^{2i\pi |z|}z

som är identiteten på båda gränskomponenterna $\{|z|=1\},\{|z|=2\}$ . Mappningsklassgruppen för $A$ genereras sedan av klassen $\tau _{0}$ .

Fläta grupper och kartlägga klassgrupper

Flätgrupper kan definieras som kartläggningsklassgrupperna för en skiva med punkteringar. Närmare bestämt är flätgruppen på n strängar naturligt isomorf till kartläggningsklassgruppen för en disk med n punkteringar.

Dehn–Nielsen–Baer-satsen

Om $S$ är stängd och $f$ är en homeomorfism av $S$ så kan vi definiera en automorfism $f_{*}$ i grundgruppen $\pi _{1}(S,x_{0})$ enligt följande: fixa en sökväg $\gamma$ mellan $x_{0}$ och $f(x_{0})$ och för en slinga $\alpha$ baserat på $x_{0}$ som representerar ett element $[ \alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})$ definiera $f_{*}([\alpha ])$ för att vara elementet i grundgruppen associerad med slingan ${\bar {\gamma }}*f(\alpha )*\gamma$ . Denna automorfism beror på valet av $\gamma$ , men bara upp till konjugation. Således får vi en väldefinierad karta från $\operatorname {Homeo} (S)$ till den yttre automorfismgruppen $\operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0}))$ . Den här kartan är en morfism och dess kärna är exakt undergruppen $\operatorname {Homeo} _{0}(S)$ . Dehn–Nielsen–Baer-satsen säger att den dessutom är surjektiv. I synnerhet innebär det att:

Den utökade mappningsklassgruppen $\operatorname {Mod} ^{\pm }(S)$ är isomorf till den yttre automorfismgruppen $\operatorname { Ut} (\pi _{1}(S))$ .

Bilden av kartläggningsklassgruppen är en index 2-undergrupp av den yttre automorfismgruppen, som kan karakteriseras av dess verkan på homologi.

Slutsatsen av satsen håller inte när $S$ har en icke-tom gräns (förutom i ett ändligt antal fall). I det här fallet är grundgruppen en fri grupp och den yttre automorfismgruppen Out(Fn) är strikt större än bilden av kartläggningsklassgruppen via morfismen definierad i föregående stycke. Bilden är exakt de yttre automorfismer som bevarar varje konjugationsklass i den fundamentala gruppen som motsvarar en gränskomponent.

Birmanernas exakta sekvens

Detta är en exakt sekvens som relaterar kartläggningsklassgruppen av ytor med samma släkte och gräns men ett annat antal punkteringar. Det är ett grundläggande verktyg som gör det möjligt att använda rekursiva argument i studiet av kartläggning av klassgrupper. Det bevisades av Joan Birman 1969. Det exakta påståendet är som följer.

Låt $S$ vara en kompakt yta och $x\in S$ . Det finns en exakt sekvens

1\to \pi _{1}(S,x)\ till \operatörsnamn {Mod} (S\setminus \{x\})\till \operatörsnamn {Mod} (S)\till 1

.

I det fall där $S$ själv har punkteringar måste mappningsklassgruppen $\operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})$ ersättas med finite-index undergrupp av mappningsklasser som fixar $x$ .

Delar av kartläggningsklassgruppen

Dehn vrider sig

Om $c$ är en orienterad enkel sluten kurva på $S$ och man väljer ett slutet rörformigt område $A$ så finns det en homeomorfism $f$ från $A$ till den kanoniska annulus $A_{0}$ som definierats ovan, och skickar $c$ till en cirkel med moturs orientering. Detta används för att definiera en homeomorfism $\tau _{c}$ av $S$ enligt följande: på $S\setminus A$ är det identiteten, och på $A$ det är lika med $f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f$ . Klassen för $\tau _{c}$ i mappningsklassgruppen $\operatorname {Mod} (S)$ beror inte på valet av $f$ gjort ovan, och det resulterande elementet kallas Dehn-twist om $c$ . Om $c$ inte är noll-homotop är denna mappningsklass icke-trivial, och mer generellt är Dehn-vridningarna som definieras av två icke-homotopiska kurvor distinkta element i mappningsklassgruppen.

I mappningsklassgruppen för torusen identifierad med $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ motsvarar Dehn-vridningarna unipotenta matriser. Till exempel matrisen

{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

motsvarar Dehn-vridningen om en horisontell kurva i torus.

Nielsen–Thurston-klassificeringen

Det finns en klassificering av kartläggningsklasserna på en yta, ursprungligen på grund av Nielsen och återupptäckt av Thurston, som kan anges enligt följande. Ett element $g\in \operatorname {Mod} (S)$ är antingen:

av ändlig ordning (dvs det finns $n>0$ så att $g^{n}$ är identiteten),
reducerbar: det finns en uppsättning disjunkta stängda kurvor på $S$ som bevaras av verkan av $g$ ;
eller pseudo-Anosov.

Det huvudsakliga innehållet i satsen är att en avbildningsklass som varken är av ändlig ordning eller reducerbar måste vara pseudo-Anosov, som kan definieras explicit av dynamiska egenskaper.

Pseudo-Anosov-diffeomorfismer

Studiet av pseudo-Anosov-diffeomorfismer av en yta är grundläggande. De är de mest intressanta diffeomorfismerna, eftersom avbildningsklasser av ändlig ordning är isotopiska för isometrier och därmed väl förstådda, och studiet av reducerbara klasser reducerar faktiskt i huvudsak till studiet av kartläggningsklasser på mindre ytor som i sig själva kan vara antingen ändliga ordningar eller pseudo- Anosov.

Pseudo-Anosov kartläggningsklasser är "generiska" i kartklassgruppen på olika sätt. Till exempel kommer en slumpmässig promenad på kartläggningsklassgruppen att sluta på ett pseudo-Anosov-element med en sannolikhet som tenderar till 1 när antalet steg växer.

Åtgärder av kartläggningsklassgruppen

Action på Teichmüller-utrymmet

Givet en punkterad yta $S$ (vanligtvis utan gräns) är Teichmüller-utrymmet $T(S)$ utrymmet för markerade komplexa (motsvarande, konforma eller fullständiga hyperboliska) strukturer på $S$ . Dessa representeras av par $(X,f)$ där $X$ är en Riemann-yta och $f:S\to X$ en homeomorfism, modulo ett lämpligt ekvivalensförhållande. Det finns en uppenbar åtgärd av gruppen $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ på sådana par, som går ner till en åtgärd av $\operatorname {Mod} (S)$ på Teichmüller-utrymmet.

Denna åtgärd har många intressanta egenskaper; till exempel är den korrekt diskontinuerlig (men inte gratis ). Den är kompatibel med olika geometriska strukturer (metriska eller komplexa) som $T(S)$ kan förses med. Speciellt kan Teichmüller-metriken användas för att fastställa några storskaliga egenskaper hos kartläggningsklassgruppen, till exempel att de maximala kvasi-isometriskt inbäddade lägenheterna i $\operatorname {Mod} (S)$ är av dimension $3g-3+k$ .

Handlingen sträcker sig till Thurston-gränsen för Teichmüller-rymden, och Nielsen-Thurston-klassificeringen av kartläggningsklasser kan ses i de dynamiska egenskaperna hos handlingen på Teichmüller-rymden tillsammans med dess Thurston-gräns. Nämligen:

Element av ändlig ordning fixerar en punkt inuti Teichmüller-rymden (mer konkret betyder detta att vilken mappningsklass som helst av ändlig ordning i $\operatorname {Mod} (S)$ kan realiseras som en isometri för någon hyperbolisk metrik på $S$ );
Pseudo-Anosov-klasser fixerar de två punkterna på gränsen som motsvarar deras stabila och instabila foliation och verkan är minimal (har en tät bana) på gränsen;
Reducerbara klasser verkar inte minimalt på gränsen.

Åtgärd på kurvkomplexet

Kurvkomplexet för en yta $S$ är ett komplex vars hörn är isotopiklasser av enkla slutna kurvor på $\displaystyle S}$ { . Åtgärden för mappningsklassgrupperna $\operatorname {Mod} (S)$ på hörnen överförs till hela komplexet. Handlingen är inte korrekt diskontinuerlig (stabilisatorn för en enkel sluten kurva är en oändlig grupp).

Denna åtgärd, tillsammans med kombinatoriska och geometriska egenskaper hos kurvkomplexet, kan användas för att bevisa olika egenskaper hos kartläggningsklassgruppen. Speciellt förklarar den några av de hyperboliska egenskaperna hos mappningsklassgruppen: medan som nämnts i föregående avsnitt är mappningsklassgruppen inte en hyperbolisk grupp, men har vissa egenskaper som påminner om dessa.

Andra komplex med en kartläggning av grupptalan

Byxkomplex

Byxkomplexet för en kompakt yta $S$ är ett komplex vars hörn är byxnedbrytningarna av $S$ (isotopiklasser av maximala system med disjunkta enkla slutna kurvor) . Åtgärden för $\operatorname {Mod} (S)$ sträcker sig till en åtgärd på detta komplex. Detta komplex är kvasi-isometriskt till Teichmüller-utrymmet utrustat med Weil-Petersson-metriken .

Markeringskomplex

Stabilisatorerna för kartläggningsklassens agerande på kurv- och byxkomplexen är ganska stora. Markeringskomplexet är ett komplex vars hörn är markeringar av ${\displaystyle S} , som påverkas av, och har triviala stabilisatorer i$ , mappningsklassgruppen $\operatorname {Mod} (S)$ . Det är (i motsats till kurvan eller byxkomplexet) ett lokalt ändligt komplex som är kvasi-isometriskt till kartläggningsklassgruppen.

En markering bestäms av en byxnedbrytning $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\xi }$ och en samling tvärgående kurvor $\beta _{1},\ldots ,\beta _{\xi }$ så att var och en av $\beta _{i}$ skär högst en av $\ alpha _{i}$ , och detta "minimalt" (detta är ett tekniskt tillstånd som kan anges enligt följande: om $\alpha _{i},\beta _{i}$ finns i en underjordisk homeomorf till en torus så skär de sig en gång, och om ytan är en fyrhålig sfär skär de två gånger). Två distinkta markeringar sammanfogas av en kant om de skiljer sig åt genom ett "elementärt drag", och hela komplexet erhålls genom att lägga till alla möjliga högredimensionella förenklingar.

Generatorer och relationer för kartläggning av klassgrupper

Dehn–Lickorish-satsen

Kartläggningsklassgruppen genereras av delmängden av Dehn-vridningar kring alla enkla slutna kurvor på ytan. Dehn–Lickorish-satsen säger att det är tillräckligt att välja ett ändligt antal av dem för att generera kartläggningsklassgruppen. Detta generaliserar det faktum att $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ genereras av matriserna

{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}

.

I synnerhet är kartläggningsklassgruppen för en yta en ändligt genererad grupp .

Det minsta antalet Dehn-vridningar som kan generera mappningsklassgruppen för en sluten yta av släktet $g\geq 2$ är $2g+1$ ; detta bevisades senare av Humphries.

Finit presentabilitet

Det är möjligt att bevisa att alla relationer mellan Dehn-vridningarna i en genereringsmängd för avbildningsklassgruppen kan skrivas som kombinationer av ett ändligt antal bland dem. Det betyder att kartläggningsklassgruppen för en yta är en ändligt presenterad grupp .

Ett sätt att bevisa detta teorem är att härleda det från egenskaperna för verkan av kartläggningsklassgruppen på byxkomplexet: stabilisatorn för en vertex ses vara ändligt presenterad, och verkan är kofinit. Eftersom komplexet är sammankopplat och enkelt sammankopplat följer det att mappningsklassgruppen måste genereras ändligt. Det finns andra sätt att få finita presentationer, men i praktiken är det enda som ger explicita relationer för alla geni det som beskrivs i det här stycket med ett något annorlunda komplex istället för kurvkomplexet, kallat cut system complex .

Ett exempel på en relation mellan Dehn-vridningar som förekommer i denna presentation är lyktförhållandet .

Andra system av generatorer

Det finns andra intressanta system av generatorer för kartläggningsklassgruppen förutom Dehn-vridningar. Till exempel $\operatorname {Mod} (S)$ genereras av två element eller av involutioner.

Kohomologi av kartläggningsklassgruppen

Om $S$ är en yta av släktet $g$ med $b$ gränskomponenter och $k$ punkterar då den virtuella kohomologiska dimensionen av $\ operatornamn {Mod} (S)$ är lika med $4g-4+b+k$ .

Den första homologin för kartläggningsklassgruppen är finit och det följer att den första kohomologigruppen också är finit.

Undergrupper av kartläggningsklassgrupperna

Torelli-undergruppen

Eftersom singularhomologi är funktionell, verkar mappningsklassgruppen $\operatorname {Mod} (S)$ genom automorfismer på den första homologigruppen $H_{1}(S)$ . Detta är en fri abelsk grupp av rang $2g$ om $S$ är stängd av släktet $g$ . Denna åtgärd ger alltså en linjär representation $\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathbb {Z} )$ .

Den här kartan är i själva verket en surjektion med bild lika med heltalspunkterna $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ i den symboliska gruppen . Detta kommer från det faktum att skärningstalet för slutna kurvor inducerar en symplektisk form på den första homologin, som bevaras genom verkan av kartläggningsklassgruppen. Surjektiviteten bevisas genom att visa att bilderna av Dehn-vridningar genererar $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ .

Kärnan i morfismen $\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ kallas Torelli -gruppen av $S$ . Det är en ändligt genererad, vridningsfri undergrupp och dess studie är av grundläggande betydelse för dess betydelse för både strukturen hos själva kartläggningsklassgruppen (eftersom den aritmetiska gruppen $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ är jämförelsevis mycket väl förstådd, mycket fakta om $\operatorname {Mod} (S)$ kokar ner till ett uttalande om dess Torelli-undergrupp) och tillämpningar på 3-dimensionell topologi och algebraisk geometri.

Återstående finitet och finita-index undergrupper

Ett exempel på tillämpning av Torelli-undergruppen är följande resultat:

Mappningsklassgruppen är resterande ändlig .

Beviset fortsätter först genom att använda kvarvarande ändlighet för den linjära gruppen ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )} ,$ och sedan för alla icke-triviala element i Torelli grupp, konstruerar med geometriska medel undergrupper av ändligt index som inte innehåller det.

En intressant klass av undergrupper med ändligt index ges av morfismernas kärnor:

\Phi _{n}:\operatörsnamn {Mod} (S)\till \operatörsnamn { Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\till \operatörsnamn {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )

Kärnan i $\Phi _{n}$ brukar kallas en kongruensundergrupp av $\operatorname {Mod} (S)$ . Det är en vridningsfri grupp för alla $n\geq 3$ (detta följer lätt av ett klassiskt resultat av Minkowski på linjära grupper och det faktum att Torelli-gruppen är torsionsfri).

Finita undergrupper

Mappningsklassgruppen har bara ändligt många klasser av ändliga grupper, vilket följer av det faktum att undergruppen med ändligt index $\ker(\Phi _{3})$ är torsionsfri, eftersom diskuterades i föregående stycke. Dessutom innebär detta också att varje ändlig undergrupp av $\operatorname {Mod} (S)$ är en undergrupp till den ändliga gruppen $\operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)$ .

En gräns i storleksordningen ändliga undergrupper kan också erhållas genom geometriska medel. Lösningen på Nielsens realiseringsproblem innebär att varje sådan grupp realiseras som gruppen av isometrier av en hyperbolisk yta av släktet $g$ . Hurwitzs bindning innebär då att den maximala ordningen är lika med $84(g-1)$ .

Allmänna fakta om undergrupper

Mappningsklassgrupperna uppfyller Tits-alternativet : det vill säga, vilken undergrupp som helst av den innehåller antingen en icke-abelsk fri undergrupp eller så är den praktiskt taget lösbar (i själva verket abelisk).

Varje undergrupp som inte är reducerbar (det vill säga att den inte bevarar en uppsättning av isotopiklasser av disjunkta enkla stängda kurvor) måste innehålla ett pseudo-Anosov-element.

Linjära representationer

Det är en öppen fråga om kartläggningsklassgruppen är en linjär grupp eller inte. Förutom den symplektiska representationen om homologi som förklaras ovan finns det andra intressanta änddimensionella linjära representationer som härrör från topologisk kvantfältteori . Bilderna av dessa representationer finns i aritmetiska grupper som inte är symplektiska, och detta gör det möjligt att konstruera många fler ändliga kvoter av $\operatorname {Mod} (S)$ .

I den andra riktningen finns en nedre gräns för dimensionen av en (förmodad) trogen representation, som måste vara minst $2{\sqrt {g-1}}$ .

Anteckningar

Citat

Källor

Birman, Joan (1969). "Karta klassgrupper och deras relation till flätgrupper". Comm. Ren appl. Matematik . 22 (2): 213–238. doi : 10.1002/cpa.3160220206 . MR 0243519 .
Birman, Joan S. (1974). Flätor, länkar och kartläggning av klassgrupper . Annals of Mathematics Studies. Vol. 82. Princeton University Press.
Brendle, Tara E. ; Farb, Benson (2004). "Varje mappningsklassgrupp genereras av 3 torsionselement och av 6 involutioner". J. Algebra . 278 . arXiv : math/0307039 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.02.019 . S2CID 14784932 .
Brock, Jeff (2002). "Byxnedbrytningar och Weil–Petersson-metriken". Komplexa grenrör och hyperbolisk geometri . American Mathematical Society. MR 1940162 .
Dehn, Max (1938). "Die Gruppe der Abbildungsklassen: Das arithmetische Feld auf Flächen" . Acta Math. (på tyska). 69 : 135-206. doi : 10.1007/bf02547712 , översatt i Dehn 1987 .
Dehn, Max (1987). Uppsatser om gruppteori och topologi . översatt och introducerad av John Stillwell. Springer-Verlag. ISBN 978-038796416-4 .
Eskin, Alex; Masur, Howard; Rafi, Kasra (2017). "Storskalig rang av Teichmüller-rymden". Duke Mathematical Journal . 166 (8). arXiv : 1307.3733 . doi : 10.1215/00127094-0000006X . S2CID 15393033 .
Farb, Benson; Lubotzky, Alexander; Minsky, Yair (2001). "Rank-1-fenomen för kartläggning av klassgrupper". Duke Math. J . 106 (3): 581–597. doi : 10.1215/s0012-7094-01-10636-4 . MR 1813237 .
Farb, Benson ; Margalit, Dan (2012). En primer om kartläggning av klassgrupper . Princeton University press.
Fathi, Albert; Laudenbach, François; Poénaru, Valentin (2012). Thurstons arbete på ytor . Matematiska anteckningar. Vol. 48. översatt från det franska originalet från 1979 av Djun M. Kim och Dan Margalit. Princeton University Press. s. xvi+254. ISBN 978-0-691-14735-2 .
Hatcher, Allen ; Thurston, William (1980). "En presentation för kartläggningsklassen av en sluten orienterbar yta" . Topologi . 19 (3): 221–237. doi : 10.1016/0040-9383(80)90009-9 .
Ivanov, Nikolai (1992). Undergrupper av Teichmüller Modular Groups . American Math. Soc.
Masbaum, Gregor; Reid, Alan W. (2012). "Alla ändliga grupper är involverade i kartläggningsklassgruppen". Geom. Topol . 16 (3): 1393–1411. arXiv : 1106.4261 . doi : 10.2140/gt.2012.16.1393 . MR 2967055 . S2CID 17330187 .
Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (1999). "Geometri av komplexet av kurvor. I. Hyperbolicitet". Uppfinna. Matematik . 138 : 103–149. arXiv : math/9804098 . Bibcode : 1999InMat.138..103M . doi : 10.1007/s002220050343 . MR 1714338 . S2CID 16199015 .
Masur, Howard A.; Minsky, Yair N. (2000). "Geometri av kurvkomplexet II: Hierarkisk struktur". Geom. Funktion. Anal . 10 (4): 902–974. arXiv : math/9807150 . doi : 10.1007/pl00001643 . S2CID 14834205 .
Putman, Andy (2010). "En anteckning om abelianiseringar av finita-index-undergrupper i kartläggningsklassgruppen" . Proc. Amer. Matematik. Soc . 138 (2): 753–758. arXiv : 0812.0017 . doi : 10.1090/s0002-9939-09-10124-7 . MR 2557192 . S2CID 2047111 .
Thurston, William P. (1988). "Om geometrin och dynamiken hos ytornas diffeomorfismer" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 19 (2): 417–431. doi : 10.1090/s0273-0979-1988-15685-6 . MR 0956596 .
Wajnryb, B. (1996). "Mapping klassgrupp av en yta genereras av två element" . Topologi . 35 (2): 377–383. doi : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .