Flätor, länkar och kartläggningsklassgrupper
 | |
| Författare | Joan Birman |
|---|---|
| Ämne | Fläta grupper i lågdimensionell topologi |
| Utgivare | Princeton University Press |
Publiceringsdatum |
1974 |
| ISBN | 978-0-691-08149-6 |
Braids, Links, and Mapping Class Groups är en matematisk monografi om flätgrupper och deras tillämpningar i lågdimensionell topologi . Den skrevs av Joan Birman , baserad på föreläsningsanteckningar av James W. Cannon , och publicerades 1974 av Princeton University Press och University of Tokyo Press, som volym 82 av bokserien Annals of Mathematics Studies.
Även om flätgrupper hade introducerats 1891 av Adolf Hurwitz och formaliserats 1925 av Emil Artin , var detta den första boken som ägnades åt dem. Det har beskrivits som ett "seminellt verk", ett som "lagde grunden för flera nya delfält inom topologi".
Ämnen
Flätor, länkar och kartläggningsklassgrupper är organiserade i fem kapitel och en bilaga. Det första inledande kapitlet definierar flätgrupper, konfigurationsutrymmen och användningen av konfigurationsutrymmen för att definiera flätgrupper på godtyckliga tvådimensionella grenrör . Det ger en lösning på ordet problem för flätor, frågan om att avgöra om två olika flätpresentationer verkligen beskriver samma gruppelement. Den beskriver också flätgrupperna som automorfismgrupper av fria grupper och av multipla-punkterade skivor.
De följande tre kapitlen presenterar kopplingar av flätgrupper till tre olika områden inom matematiken. Kapitel 2 handlar om tillämpningar av knutteori , via Alexanders sats om att varje knut eller länk kan bildas genom att stänga av en fläta, och ger det första fullständiga beviset för Markovs sats om ekvivalens av länkar som bildas på detta sätt. Den innehåller också material om konjugationsproblemet , viktigt i detta område eftersom konjugerade flätor stänger av för att bilda samma länk, och om "algebraiska länkproblem" (inte att förväxla med algebraiska länkar ) där man måste avgöra om två länkar kan vara relaterade till varandra genom ändligt många drag av en viss typ, motsvarande homeomorfismen av länkkomplement . Kapitel 3 berör representationsteori och inkluderar Fox-derivat och Foxs fria differentialkalkyl, Magnus-representationen av fria grupper och Gassner- och Burau-representationerna av flätgrupper. Kapitel 4 handlar om kartläggningsklassgrupperna av 2-grenrör, Dehn-vridningar och Lickorish-vridningssatsen och plats, flätor som stängs av på ett annat sätt än i Alexanders sats.
Kapitel 5 har rubriken "plats och länkar". Den går från 2-dimensionell topologi till 3-dimensionell topologi och är mer spekulativ när det gäller kopplingar mellan flätgrupper, 3-grenrör och klassificering av länkar. Den innehåller också en analog till Alexanders sats för plats, där antalet strängar av den resulterande plattan visar sig bestämmas av bronumret för en given länk. I bilagan finns en lista med 34 öppna problem. När Wilbur Whitten skrev sin recension, i juni 1975, hade en handfull av dessa redan lösts.
Publik och mottagning
Detta är en bok för avancerade matematikstudenter och yrkesverksamma, som förväntas redan vara bekanta med algebraisk topologi och presentationer av grupper av generatorer och relatorer . Även om det inte är en lärobok, kan den möjligen användas för forskarseminarier.
Recensenten Lee Neuwirth kallar boken "mest läsbar", "en trevlig blandning av kända resultat i ämnet och nytt material". Whitten beskriver den som "grundlig, skickligt skriven" och "ett nöje att läsa". Wilhelm Magnus tycker att det är "anmärkningsvärt" att samtidigt som Birman täcker ämnet med full matematisk noggrannhet, har Birman bevarat den intuitiva dragningskraften hos några av sina tidigaste verk.