Resterande ändlig grupp
Inom det matematiska området för gruppteorin är en grupp G restfinit eller ändligt approximerbar om det för varje element g som inte är identiteten i G finns en homomorfism h från G till en finit grupp , så att
Det finns ett antal motsvarande definitioner:
- En grupp är resterande finit om det för varje icke-identitetselement i gruppen finns en normal undergrupp av finita index som inte innehåller det elementet.
- En grupp är resterande ändlig om och endast om skärningspunkten mellan alla dess undergrupper av ändligt index är trivial .
- En grupp är resterande ändlig om och endast om skärningen av alla dess normala undergrupper av ändligt index är trivial.
- En grupp är resterande ändlig om och bara om den kan bäddas in i den direkta produkten av en familj av ändliga grupper.
Exempel
Exempel på grupper som är resterande ändliga är ändliga grupper , fria grupper , ändligt genererade nilpotenta grupper , polycykliska genom ändliga grupper , ändligt genererade linjära grupper och fundamentala grupper av kompakta 3-grenrör .
Undergrupper av resterande ändliga grupper är resterande ändliga, och direkta produkter av restfinita grupper är resterande ändliga. Varje omvänd gräns för resterande ändliga grupper är resterande ändliga. I synnerhet är alla profinita grupper restfinita.
Exempel på icke-återstående ändliga grupper kan konstrueras med det faktum att alla ändligt genererade återstående ändliga grupper är Hopfian-grupper . Till exempel Baumslag–Solitar-gruppen B (2,3) inte Hopfian och därför inte restfinit.
Profinistisk topologi
Varje grupp G kan göras till en topologisk grupp genom att ta som bas av öppna grannskap av identiteten, samlingen av alla normala undergrupper av finita index i G . Den resulterande topologin kallas den profinita topologin på G . En grupp är resterande ändlig om, och endast om, dess profinita topologi är Hausdorff .
En grupp vars cykliska undergrupper är slutna i den profinita topologin sägs vara . Grupper vars ändligt genererade undergrupper är stängda i den profinita topologin kallas undergrupp separerbara (även LERF , för lokalt utvidgad restfinita ). En grupp där varje konjugationsklass är stängd i den profinita topologin kallas konjugacy separable .
Variationer av resterande ändliga grupper
En fråga är: vilka egenskaper har en sort vars alla grupper är resterande ändliga? Två resultat om dessa är:
- Vilken sort som helst som endast innefattar resterande ändliga grupper genereras av en A-grupp .
- För vilken sort som helst som endast omfattar resterande ändliga grupper, innehåller den en finit grupp så att alla medlemmar är inbäddade i en direkt produkt av den finita gruppen.