Pseudo-Anosov karta
Inom matematik , specifikt i topologi , är en pseudo-Anosov-karta en typ av diffeomorfism eller homeomorfism av en yta . Det är en generalisering av en linjär Anosov-diffeomorfism av torus . Dess definition förlitar sig på föreställningen om en uppmätt foliation introducerad av William Thurston , som också myntade termen "pseudo-Anosov diffeomorphism" när han bevisade sin klassificering av diffeomorphisms av en yta .
Definition av en uppmätt foliation
En uppmätt foliation F på en sluten yta S är en geometrisk struktur på S som består av en singulär foliation och ett mått i tvärriktningen. I någon närhet av en regelbunden punkt på F finns det en "flödeslåda" φ : U → R 2 som skickar bladen på F till de horisontella linjerna i R 2 . Om två sådana kvarter U i och U j överlappar så finns det en övergångsfunktion φ ij definierad på φ j ( U j ), med standardegenskapen
som måste ha formen
för någon konstant c . Detta säkerställer att längs en enkel kurva är variationen i y -koordinater, mätt lokalt i varje diagram, en geometrisk storhet (dvs. oberoende av diagrammet) och tillåter definitionen av en total variation längs en enkel sluten kurva på S . Ett ändligt antal singulariteter av F av typen " p -pronged sadel", p ≥3, är tillåtna. Vid en sådan singulär punkt modifieras den differentierbara strukturen av ytan för att göra punkten till en konisk punkt med den totala vinkeln πp . Begreppet en diffeomorfism av S omdefinieras med avseende på denna modifierade differentierbara struktur. Med vissa tekniska modifieringar sträcker sig dessa definitioner till fallet med en yta med gräns.
Definition av en pseudo-Anosov karta
En homeomorfism
av en sluten yta kallas S pseudo-Anosov om det finns ett tvärgående par av uppmätta foliationer på S , F s (stabil) och F u (instabil), och ett reellt tal λ > 1 så att foliationerna bevaras av f och deras tvärmått multipliceras med 1/ λ och λ . Talet λ kallas sträckfaktorn eller dilatationen av f .
Betydelse
Thurston konstruerade en kompaktering av Teichmüller-utrymmet T ( S ) av en yta S så att verkan inducerad på T ( S ) av någon diffeomorfism f av S sträcker sig till en homeomorfism av Thurston-komprimeringen. Dynamiken i denna homeomorfism är den enklaste när f är en pseudo-Anosov-karta: i det här fallet finns det två fasta punkter på Thurston-gränsen, en attraherande och en frånstötande, och homeomorfismen beter sig på samma sätt som en hyperbolisk automorfism av Poincaré- halvan -plan . En "generisk" diffeomorfism av en yta av släktet minst två är isotopisk till en pseudo-anosov-diffeomorfism.
Generalisering
Med hjälp av teorin om tågspår har föreställningen om en pseudo-Anosov-karta utökats till självkartor av grafer (på den topologiska sidan) och yttre automorfismer av fria grupper (på den algebraiska sidan). Detta leder till en analog av Thurston-klassificeringen för fallet med automorfismer av fria grupper, utvecklad av Bestvina och Handel.
- A. Casson, S. Bleiler, "Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston", (London Mathematical Society Student Texts 9), (1988).
- A. Fathi, F. Laudenbach och V. Poénaru , "Travaux de Thurston sur les ytor," Asterisque, Vols. 66 och 67 (1979).
- RC Penner. "En konstruktion av pseudo-Anosov homeomorphisms", Trans. Amer. Matematik. Soc., 310 (1988) nr 1, 179-197
- Thurston, William P. (1988), "Om ytornas geometri och dynamik", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 19 (2): 417–431, doi : 10.1090/S0273-0979-1988- 15685-6 , ISSN 0002-9904 , MR 0956596