Von Staudt konisk

I projektiv geometri är en von Staudt-konisk den punktuppsättning som definieras av alla absoluta punkter i en polaritet som har absoluta punkter. I det verkliga projektiva planet är en von Staudt-konisk en konisk sektion i vanlig mening. I mer generella projektiva plan är detta inte alltid fallet. Karl Georg Christian von Staudt introducerade denna definition i Geometrie der Lage (1847) som en del av sitt försök att ta bort alla metriska begrepp från projektiv geometri.

Polariteter

En polaritet , π , av ett projektivt plan, P , är en ofrivillig (dvs. av ordning två) bijektion mellan punkterna och linjerna i P som bevarar infallsrelationen . Således kopplar en polaritet en punkt Q till en linje q och, efter Gergonne , kallas q för Q polär och Q för q pol . En absolut punkt ( linje ) av en polaritet är en som faller in med dess polar (pol).

En polaritet kan ha absoluta punkter eller inte. En polaritet med absoluta punkter kallas hyperbolisk polaritet och en utan absoluta punkter kallas elliptisk polaritet . I det komplexa projektiva planet är alla polariteter hyperboliska men i det verkliga projektiva planet är det bara några.

En klassificering av polariteter över godtyckliga fält följer av klassificeringen av sesquilinjära former som ges av Birkhoff och von Neumann. Ortogonala polariteter, som motsvarar symmetriska bilinjära former, kallas också för vanliga polariteter och absoluta punkters locus bildar en icke-degenererad konisk (uppsättning punkter vars koordinater uppfyller en irreducerbar homogen andragradsekvation) om fältet inte har karakteristisk två . I karakteristiska två kallas de ortogonala polariteterna pseudopolariteter och i ett plan bildar de absoluta punkterna en linje.

Finita projektiva plan

Om π är en polaritet för ett ändligt projektivt plan (som inte behöver vara desarguesian), P , av ordningen n så ges antalet av dess absoluta punkter (eller absoluta linjer), a ( π ) av:

a ( π ) = n + 2 r n + 1 ,

där r är ett icke-negativt heltal. Eftersom a ( π ) är ett heltal, är a ( π ) = n + 1 om n inte är en kvadrat, och i detta fall kallas π för en ortogonal polaritet .

R. Baer har visat att om n är udda, bildar de absoluta punkterna för en ortogonal polaritet en oval (det vill säga n + 1 poäng, inga tre kolinjära ), medan om n är jämn, ligger de absoluta punkterna på en icke-absolut linje.

Sammanfattningsvis är von Staudts koner inte ovaler i ändliga projektiva plan (desarguesian eller inte) av jämn ordning.

Relation till andra typer av koner

I ett pappiskt plan (dvs. ett projektivt plan koordinerat av ett fält ), om fältet inte har karakteristiska två, är en von Staudt-konisk ekvivalent med en Steiner-konisk . R. Artzy har dock visat att dessa två definitioner av koniska koner kan producera icke-isomorfa objekt i (oändliga) Moufang-plan .

Anteckningar

Vidare läsning

  •   Ostrom, TG (1981), "Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planes", i Plaumann, Peter; Strambach, Karl (red.), Geometry - von Staudts synvinkel , D. Reidel, s. 175–196, ISBN 90-277-1283-2