Moufang-plan

Inom geometrin är ett Moufang-plan , uppkallat efter Ruth Moufang , en typ av projektivt plan , närmare bestämt en speciell typ av translationsplan . Ett translationsplan är ett projektivt plan som har en translationslinje , det vill säga en linje med egenskapen att gruppen av automorfismer som fixerar varje punkt på linjen verkar transitivt på punkter i planet som inte är på linjen. Ett översättningsplan är Moufang om varje linje i planet är en översättningslinje.

Karakteriseringar

Ett Moufang-plan kan också beskrivas som ett projektivt plan i vilket den lilla Desargues-satsen gäller. Denna sats säger att en begränsad form av Desargues sats gäller för varje linje i planet. Till exempel är varje Desarguesian-plan ett Moufang-plan.

I algebraiska termer är ett projektivt plan över valfri alternativ delningsring ett Moufang-plan, och detta ger en 1:1-överensstämmelse mellan isomorfismklasser av alternativa delningsringar och Moufang-plan.

Som en konsekvens av den algebraiska Artin-Zorn-satsen , att varje finit alternativ divisionsring är ett fält, är varje finit Moufang-plan Desarguesian, men vissa oändliga Moufang-plan är icke-Desarguesian-plan . I synnerhet Cayley-planet , ett oändligt Moufang-projektivt plan över oktonionerna , är ett av dessa eftersom oktonionerna inte bildar en delningsring.

Egenskaper

Följande förhållanden på ett projektivt plan P är ekvivalenta:

• P är ett Moufang-plan.
• Gruppen av automorfismer som fixerar alla punkter på en given linje verkar transitivt på de punkter som inte är på linjen.
• Någon ternär ring i planet är en alternativ delningsring.
• P är isomorft till det projektiva planet över en alternativ delningsring.

Dessutom, i ett Moufang-plan:

• Gruppen automorfismer verkar transitivt på fyrkanter.
• Alla två ternära ringar i planet är isomorfa.

Se även

• Moufang loop
• Moufang polygon

Anteckningar

•   Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Projective Planes , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
•   Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen (Zweite Auflage ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-07280-2
•   Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes , WH Freeman & Co., ISBN 0-7167-0443-9

Vidare läsning

•    Tits, Jacques ; Weiss, Richard M. (2002), Moufang polygons , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43714-7 , MR 1938841