Hughes plan

För det stora flygplanet byggt av Hughes, se Spruce goose .

Inom matematiken är ett Hughesplan ett av de icke-Desarguesiska projektiva plan som hittats av Hughes (1957) . Det finns exempel på ordningen p ^{2 n} för varje udda primtal p och varje positivt heltal n .

Konstruktion

Konstruktionen av ett Hughes-plan baseras på ett närfält N av ordningen p ²ⁿ för p ett udda primtal vars kärna K har ordningen p ⁿ och sammanfaller med mitten av N .

Egenskaper

Ett Hughes plan H :

1. är ett icke-desarguesiskt projektivt plan av udda kvadratisk primtalsordning av Lenz-Barlotti typ I.1,
2. ₀ har ett Desarguesian Baer subplan H ,
3. ₀ är ett självdubbelt plan där varje ortogonal polaritet av H kan förlängas till en polaritet av H ,
4. ₀ varje central kollinering av H sträcker sig till en central kollinering av H , och
5. ₀ den fullständiga kollineringsgruppen av H har två punktbanor (varav en är H ), två linjebanor och fyra flaggbanor.

Det minsta Hughes-planet (ordning 9)

Hughesplanet av ordning 9 hittades faktiskt tidigare av Veblen och Wedderburn 1907. En konstruktion av detta plan finns i Room & Kirkpatrick (1971) där det kallas planet Ψ.

Anteckningar

• Dembowski, P. (1968), Finite Geometries , Berlin: Springer-Verlag
•    Hughes, DR (1957), "A class of non-Desarguesian projective planes", Canadian Journal of Mathematics , 9 : 378–388, doi : 10.4153/CJM-1957-045-0 , ISSN 0008-414X 8 , 79MR 8
•    Rum, TG; Kirkpatrick, PB (1971). Miniquaternion geometri; en introduktion till studiet av projektiva plan . Cambridge [England]: University Press. ISBN 0-521-07926-8 . OCLC 111943 .
• Weibel, Charles (2007), "Survey of Non-Desarguesian Planes" , Notices of the AMS , 54 (10): 1294–1303