Närområdet (matematik)

Den här artikeln handlar om det matematiska konceptet. För det elektromagnetiska konceptet, se När- och fjärrfält .

I matematik är ett närfält en algebraisk struktur som liknar en divisionsring , förutom att den bara har en av de två fördelningslagarna. Alternativt är ett närfält en närring där det finns en multiplikativ identitet och varje element som inte är noll har en multiplikativ invers .

Definition

Ett närfält är en uppsättning $Q$ tillsammans med två binära operationer , $+$ (addition) och $\cdot$ (multiplikation), som uppfyller följande axiom:

A1: $(Q,+)$ är en abelsk grupp .

A2: $(a\cdot b)\cdot c$ = $a\cdot (b\cdot c)$ för alla element $a$ , $b$ , $c$ av $Q$ (den associativa lagen för multiplikation).

A3: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ för alla element $a$ , $b$ , $c$ av $Q$ (den rätta fördelningslagen ).

A4: $Q$ innehåller ett element 1 så att $1\cdot a=a\cdot 1=a$ för varje element $a$ av ${ \displaystyle Q}$ ( Multiplikativ identitet ).

A5: För varje element som inte är noll $a$ av $Q$ finns det ett element $a^{-1}$ så att $a\cdot a^{-1}=1=a^{-1}\cdot a$ ( Multiplikativ invers ).

Anmärkningar om definitionen

1. Ovanstående är strängt taget en definition av ett rätt närfält. Genom att ersätta A3 med den vänstra fördelningslagen $c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$ får vi en vänster nära -fält istället. Vanligast är att "nära fält" uppfattas som "rätt närfält", men detta är inte en universell konvention.
2. Ett (höger) närfält kallas "planar" om det också är ett höger kvasifält . Varje ändligt närfält är plant, men oändliga närfält behöver inte vara det.
3. Det är inte nödvändigt att specificera att additivgruppen är abel, eftersom detta följer av de andra axiomen, vilket bevisats av BH Neumann och JL Zemmer. Beviset är dock ganska svårt, och det är bekvämare att inkludera detta i axiomen så att framsteg med att fastställa egenskaperna för närfält kan starta snabbare.
4. Ibland ges en lista med axiom där A4 och A5 ersätts med följande enstaka påstående:

   A4*: Elementen som inte är noll bildar en grupp under multiplikation.

   Denna alternativa definition inkluderar dock en exceptionell struktur av ordning 2 som inte uppfyller olika grundläggande satser (som $x\cdot 0=0$ för alla $x$ ). Sålunda är det mycket bekvämare och vanligare att använda axiomen i formen ovan. Skillnaden är att A4 kräver att 1 är en identitet för alla element, A4* endast för element som inte är noll.

   Den exceptionella strukturen kan definieras genom att ta en additiv grupp av ordning 2 och definiera multiplikation med $x\cdot y=x$ för alla $x$ och $y$ .

Exempel

1. Varje delningsring (inklusive vilket fält som helst ) är ett närfält.
2. Följande definierar ett (höger) närfält av ordning 9. Det är det minsta närfältet som inte är ett fält.

   Låt $K$ vara Galois-fältet av ordning 9. Beteckna multiplikation i $K$ med ' $*$ '. Definiera en ny binär operation ' · ' genom att:

   Om $\displaystyle b}$$a\cdot b=a*b$ är ett element av $K$ som är en kvadrat och $a$ är vilket element av ${\displaystyle K} som helst,$ då .

   Om $b$ är ett element av $K$ som inte är en kvadrat och $a$ är ett element av $K$ så är ${\ displaystyle a\cdot b=a^{3}*b}$ .

   Då är $K$ ett närfält med denna nya multiplikation och samma addition som tidigare.

Historik och applikationer

Konceptet med ett närfält introducerades först av Leonard Dickson 1905. Han tog divisionsringar och modifierade deras multiplikation, samtidigt som additionen lämnades som den var, och producerade därmed de första kända exemplen på närfält som inte var divisionsringar. Närfälten som produceras med denna metod är kända som Dicksonnära fält; närfältet av ordning 9 som ges ovan är ett Dickson-närfält. Hans Zassenhaus bevisade att alla utom 7 ändliga närfält är antingen fält eller Dickson närfält.

Den tidigaste tillämpningen av begreppet närfält var i studiet av infallsgeometrier som projektiva geometrier . Många projektiva geometrier kan definieras i termer av ett koordinatsystem över en delningsring, men andra kan inte. Det visade sig att genom att tillåta koordinater från valfri närring utökades intervallet av geometrier som kunde koordineras. Till exempel Marshall Hall närfältet av ordning 9 som anges ovan för att producera ett Hall-plan , det första i en sekvens av sådana plan baserat på Dicksons närfält av ordningen kvadraten på ett primtal. 1971 TG Room och PB Kirkpatrick en alternativ utveckling.

Det finns många andra tillämpningar, mest till geometri. En nyare tillämpning av närfält är i konstruktionen av chiffer för datakryptering, såsom Hill-chiffer .

Beskrivning i termer av Frobenius-grupper och gruppautomorfismer

Låt $K$ vara ett närfält. Låt $K_{m}$ vara dess multiplikativa grupp och låt $K_{a}$ vara dess additivgrupp. Låt $c\in K_{m}$ agera på $b\in K_{a}$ med $b\mapsto b\cdot c$ . Axiomen för ett närfält visar att detta är en rätt gruppåtgärd av gruppautomorfismer av $K_{a}$ , och elementen som inte är noll i $K_{a}$ bildar en enda bana med trivial stabilisator.

Omvänt, om $A$ är en abelsk grupp och $M$ är en undergrupp av $\mathrm {Aut} (A)$ som verkar fritt och transitivt på icke-noll element i $A$ , då kan vi definiera ett närfält med additiv grupp $A$ och multiplikativ grupp $M$ . Välj ett element i $A$ för att anropa $1$ och låt $\phi :M\to A\setminus \{0\}$ vara bijektionen $m\mapsto 1\ast m$ . Sedan definierar vi addition på $A$ med den additiva gruppstrukturen på $A$ och definierar multiplikation med $a\ cdot b=1\ast \phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)$ .

En Frobenius-grupp kan definieras som en ändlig grupp av formen $A\rtimes M$ där $M$ verkar utan stabilisator på element som inte är noll i $A$ . Nära fält är alltså i bijektion med Frobenius-grupper där $|M|=|A|-1$ .

Klassificering

Som nämnts ovan bevisade Zassenhaus att alla ändliga närfält antingen härrör från en konstruktion av Dickson eller är ett av sju exceptionella exempel. Vi kommer att beskriva denna klassificering genom att ge par $(A,M)$ där $A$ är en abelsk grupp och $M$ är en grupp automorfismer av $A$ som verkar fritt och transitivt på element som inte är noll i $A$ .

Byggandet av Dickson fortsätter enligt följande. Låt $q$ vara en primpotens och välj ett positivt heltal $n$ så att alla primtalsfaktorer för $n$ delar $q-1$ och, om $q\equiv 3{\bmod {4}}$ , då är $n$ inte delbart med $4$ . Låt $F$ vara det ändliga ordningsfältet q $\displaystyle q^{n}}$ och låt $A$ vara den additiva gruppen av $F$ . Den multiplikativa gruppen av $F$ , tillsammans med Frobenius-automorfismen $x\mapsto x^{q}$ genererar en grupp automorfismer av $F$ av formen $C_{n}\ltimes C_{q^{n}-1}$ , där $C_{k}$ är den cykliska gruppen av ordningen $k$ . Delbarhetsvillkoren på $n$ tillåter oss att hitta en undergrupp av $C_{n}\l gånger C_{q^{n}-1}$ av ordningen $q^{n}-1$ som verkar fritt och transitivt på $A$ . Fallet $n=1$ är fallet för kommutativa finita fält; exemplet med nio element ovan är $q=3$ , $n=2$ .

I de sju exceptionella exemplen har $A$ formen $C_{p}^{2}$ . Denna tabell, inklusive numreringen med romerska siffror, är hämtad från Zassenhauss tidning.

	$A=C_{p}^{2}$	Generatorer för $M$	Beskrivning(er) av $M$
jag	$p=5$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)} ($$\displaystyle \left( {\begin{smallmatrix}1&-2\\-1&-2\\\end{smallmatrix}}\right)}$	$2T$ , den binära tetraedriska gruppen .
II	$p=11$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)} ($$\displaystyle \left({ \begin{smallmatrix}1&5\\-5&-2\\\end{smallmatrix}}\right)} ($$\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\\\end{smallmatrix} }}\höger)}$	$2T\ gånger C_{5}$
III	$p=7$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)} ($$\displaystyle \left({ \begin{smallmatrix}1&3\\-1&-2\\\end{smallmatrix}}\right)}$	$2O$ , den binära oktaedriska gruppen .
IV	$p=23$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)} ($$\displaystyle \left({ \begin{smallmatrix}1&-6\\12&-2\\\end{smallmatrix}}\right)}$$\left({\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\\\end{ smallmatrix}}\right)$	$2O\ gånger C_{11}$
V	$p=11$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)} ( 2 4$$\left({\ börja{smallmatrix}2&4\\1&-3\\\end{smallmatrix}}\right)}$	$2I$ , den binära icosaedriska gruppen .
VI	$p=29$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)} ($$\displaystyle \left( {\begin{smallmatrix}1&-7\\-12&-2\\\end{smallmatrix}}\right)} ($$\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}16&0\\0&16\\\ end{smallmatrix}}\right)}$	$2I\ gånger C_{7}$
VII	$p=59$	${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)} ( 9$$displaystyle \left({ \begin{smallmatrix}9&15\\-10&-10\\\end{smallmatrix}}\right)}$$\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\\\end{smallmatrix} }}\höger)$	$2I\ gånger C_{29}$

De binära tetraedriska, oktaedriska och icosaedriska grupperna är centrala förlängningar av rotationssymmetrigrupperna hos de platoniska fasta ämnena ; dessa rotationssymmetrigrupper är $A_{4}$ , $S_{4}$ respektive $A_{5}$ . $2T$ och $2I$ kan också beskrivas som $SL(2,\mathbb {F} _{3})$ och $SL(2,\mathbb {F} _{5})$ .

Se även

• Nära-ring
• Plan ternär ring
• Quasifield

externa länkar

• Nearfields av Hauke ​​Klein.