Moulton plan

Moultonplanet . _ Linjer som sluttar nedåt och till höger är böjda där de korsar y -axeln.

Inom infallsgeometri är Moultonplanet ett exempel på ett affint plan där Desargues sats inte håller . Den är uppkallad efter den amerikanske astronomen Forest Ray Moulton . Punkterna i Moulton-planet är helt enkelt punkterna i det verkliga planet R ² och linjerna är också de reguljära linjerna med undantaget att för linjer med negativ lutning fördubblas lutningen när de passerar y -axeln.

Formell definition

Moultonplanet är en infallsstruktur ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle P,G,{\textrm {I}}\rangle } ,$ där $P$ betecknar uppsättningen punkter, $G$ uppsättningen linjer och ${\textrm {I}}$ incidensrelationen "ligger på":

$P:=\mathbb {R} ^{2}\,$

$G:=(\mathbb {R} \cup \{\infty \})\times \mathbb {R} ,$

$\infty$ är bara en formell symbol för ett element $\not \in \mathbb {R}$ . Det används för att beskriva vertikala linjer, som du kan tänka dig som linjer med en oändligt stor lutning.

Incidensrelationen definieras enligt följande:

För $p=(x,y)\in P$ och $g=(m,b)\in G$ har vi

$p\,{\textrm { I}}\,g\iff {\begin{cases}x=b&{\text{if }}m=\infty \\y={\frac {1}{2}}mx+b&{\text{if }}m\leq 0,x\leq 0\\y=mx+b&{\text{if }}m\geq 0{\text{ eller }}x\geq 0.\end{cases}}$

Ansökan

Moultonplanet är ett affint plan där Desargues sats inte håller. Det tillhörande projektiva planet är följaktligen också icke-desarguesiskt. Detta betyder att det finns projektiva plan som inte är isomorfa till $PG(2,F)$ för något (skevt) fält F . Här $PG(2,F)$ det projektiva planet $P(F^{3})$ bestämt av ett 3-dimensionellt vektorutrymme över ( skev) fält F .

Anteckningar

•   Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Projective Geometry : From Foundations to Applications , Cambridge University Press, s. 76–78 , ISBN 978-0-521-48364-3
•    Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 3 (2): 192–195, doi : 10.2307/19864009 , ISSN , ISSN . -9947 , JSTOR 1986419
•   Richard S. Millman, George D. Parker: Geometry: A Metric Approach with Models . Springer 1991, ISBN 9780387974125 , s. 97-104