Steiner konisk

1. Definition av Steiner-generationen av en konisk sektion

Steinerkoniska eller närmare bestämt Steiners generation av en koniska , uppkallad efter den schweiziske matematikern Jakob Steiner , är en alternativ metod för att definiera ett icke-degenererat projektivt koniskt snitt i ett projektivt plan över ett fält .

Den vanliga definitionen av en konisk form använder en kvadratisk form (se Quadric (projektiv geometri) ) . En annan alternativ definition av en konisk använder en hyperbolisk polaritet . Det beror på KGC von Staudt och kallas ibland för en von Staudt-konisk . Nackdelen med von Staudts definition är att den bara fungerar när det underliggande fältet har udda karaktäristik (dvs. ${\displaystyle Char\neq 2} )$ .

Definition av en Steinerkonisk

• Givet två pennor $B(U),B(V)$ av linjer vid två punkter $U,V$ (alla linjer innehåller $U$ och $V$ resp.) och en projektiv men inte perspektivavbildning $\pi$ av $B(U)$ på $B(V)$ . Då bildar skärningspunkterna för motsvarande linjer en icke-degenererad projektiv konisk sektion (figur 1)

2. Perspektivkartläggning mellan linjer

En perspektivavbildning π $\pi$ av en penna $B(U)$ på en penna $\displaystyle B(V)}$ är en bijektion (1-1 överensstämmelse) som t.ex. att motsvarande linjer skär varandra på en fast linje $a$ , som kallas axeln för perspektivet $\pi$ (figur 2).

En projektiv kartläggning är en ändlig produkt av perspektivavbildningar.

Enkelt exempel: Om man flyttar i det första diagrammet punkt $U$ och dess penna med linjer till $V$ och roterar den skiftade pennan runt $V$ med en fast vinkel $\ varphi$ sedan genererar skiftningen (översättningen) och rotationen en projektiv avbildning $\pi$ av pennan vid punkt $U$ på pennan vid $V$ . Av den inskrivna vinkelsatsen får man: Skärningspunkterna för motsvarande linjer bildar en cirkel.

Exempel på vanliga fält är de reella talen $\mathbb {R}$ , de rationella talen $\mathbb {Q}$ eller de komplexa talen $\mathbb {C}$ . Konstruktionen fungerar också över ändliga fält och ger exempel i ändliga projektiva plan .

Anmärkning: Grundsatsen för projektiva plan säger att en projektiv kartläggning i ett projektivt plan över ett fält ( pappian plan ) bestäms unikt genom att föreskriva bilderna av tre linjer. Det betyder att för Steiner-generationen av en konisk sektion, förutom två punkter $U,V$ behöver endast bilderna av 3 linjer anges. Dessa 5 objekt (2 punkter, 3 linjer) bestämmer unikt koniska sektionen.

Anmärkning: Notationen "perspektiv" beror på det dubbla påståendet: Projektionen av punkterna på en linje $a$ från en mitt $Z$ på en linje $b$ kallas en perspektivitet (se nedan ).

3. Exempel på en Steinergeneration: generering av en punkt

Exempel

ges bilderna av linjerna ${\displaystyle a,u,w} (se bild):$$\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ . Den projektiva mappningen $\pi$ är produkten av följande perspektivmappningar $\pi _{b},\pi _{a}$ : 1) $\pi _{b}$ är perspektivavbildningen av pennan vid punkt $U$ på pennan vid punkt $O$ med axel $b$ . 2) $\pi _{a}$ är perspektivavbildningen av pennan vid punkt $O$ på pennan i punkt $V$ med axel $a$ . Först bör man kontrollera att $\pi =\pi _{a}\pi _{b}$ har egenskaperna: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ . Därför kan bilden ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)} för varje rad g {\displaystyle$$g$ konstrueras och därför bilderna av en godtycklig uppsättning punkter. Raderna $u$ och $v$ innehåller endast koniska punkter $U$ respektive $V$ . Därav $u$ och $v$ är tangentlinjer för den genererade koniska sektionen.

Ett bevis på att denna metod genererar en konisk sektion följer av att byta till den affina begränsningen med linjen $w$ som linjen i oändligheten , punkt $O$ som ursprunget till ett koordinatsystem med punkterna ${ \displaystyle U,V}$ som punkter i oändligheten av x - och y -axeln resp. och punkt $E=(1,1)$ . Den affina delen av den genererade kurvan verkar vara hyperbeln $y=1/x$ .

Anmärkning:

1. Steinergenerationen av en konisk sektion tillhandahåller enkla metoder för konstruktion av ellipser , paraboler och hyperboler som vanligtvis kallas parallellogrammetoderna .
2. Figuren som visas när man konstruerar en punkt (figur 3) är 4-punktsdegenerationen av Pascals sats .

Steiner-generationen av en dubbelkonisk

dubbel ellips

Steiner-generationen av en dubbelkonisk

definition av en perspektivkartläggning

Definitioner och den dubbla generationen

Dualisering (se dualitet (projektiv geometri) ) ett projektivt plan innebär att byta ut punkterna med linjerna och operationsskärningen och ansluta . Den dubbla strukturen av ett projektivt plan är också ett projektivt plan. Det dubbla planet för ett pappianplan är pappian och kan också koordineras med homogena koordinater. En icke degenererad dubbelkonisk sektion definieras analogt av en kvadratisk form.

En dubbel kon kan genereras med Steiners dubbla metod:

• Givet punktuppsättningarna av två linjer $u,v$ och en projektiv men inte perspektivavbildning $\pi$ av $u$ på $v$ . Sedan bildar linjerna som förbinder motsvarande punkter en dubbel icke-degenererad projektiv konisk sektion.

En perspektivmappning $\pi$ av punktmängden för en linje $u$ till punktmängden för en linje $v$ är en bijektion (1-1 överensstämmelse) så att de anslutande linjerna av motsvarande punkter skär varandra i en fast punkt $Z$ , som kallas mitten av perspektivet $\pi$ (se figur).

En projektiv kartläggning är en ändlig sekvens av perspektivavbildningar.

Det är vanligt, när man har att göra med dubbla och gemensamma koniska sektioner, att kalla den gemensamma koniska sektionen för en punktkonisk och den dubbla koniska en linjekonisk .

I det fall att det underliggande fältet har ${\displaystyle Char=2} skär$ alla tangenterna för en punktkonisk punkt i en punkt, kallad knuten (eller kärnan ) av koniken. Således är dualen av en icke-degenererad punktkonisk en delmängd av punkter av en dubbel linje och inte en oval kurva (i det dubbla planet). Så, endast i det fall att $Char\neq 2$ är dualen av en icke-degenererad punktkonisk en icke-degenererad linjekonisk.

Exempel

Dubbel Steiner-konik definierad av två perspektiv $\pi _{A},\pi _{B}$

exempel på en Steiner-generation av en dubbelkonisk

(1) Projektivitet ges av två perspektiv: Två linjer $u,v$ med skärningspunkt $W$ ges och en projektivitet $\pi$ från $u$ till $v$ med två perspektiv $\pi _{A},\pi _{B}$ med mittpunkter $A,B$ . $\pi _{A}$ mappar linje $u$ på en tredje rad $o$ , $\pi _{B}$ mappar linje $o$ på rad $v$ (se diagram). Punkt $W$ får inte ligga på linjerna ${\overline {AB}},o$ . Projektivitet $\pi$ är sammansättningen av de två perspektiven: $\ \pi =\pi _{B}\pi _{A}$ . Därför mappas en punkt ${\displaystyle X} till$$\pi (X)=\pi _{B}\pi _{A}(X)$ och linjen $x={\overline {X\pi (X)}}$ är ett element i den dubbla koniken som definieras av $\pi$ . (Om $W$ skulle vara en fixpunkt, skulle $\pi$ vara perspektiv.)

(2) Tre punkter och deras bilder ges: Följande exempel är det dubbla som ges ovan för en Steiner-konisk. Bilderna av punkterna $A,U,W$ ges: $\pi (A) =B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ . Den projektiva mappningen $\pi$ kan representeras av produkten av följande perspektiv $\pi _{B},\pi _{A}$ :

1. $\pi _{B}$ är perspektivet för punktuppsättningen av linje $u$ på punktuppsättningen av linje $o$ med mitten $B$ .
2. $\pi _{A}$ är perspektivet för punktuppsättningen av linje $o$ på punktuppsättningen av linje $v$ med centrum $A$ .

Man kontrollerar enkelt att den projektiva avbildningen $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ uppfyller $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ . För varje godtycklig punkt ${\displaystyle G} är alltså$ bilden $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ kan konstrueras och linje ${\overline {G\pi (G)}}$ är ett element i en icke degenererad dubbelkonisk sektion. Eftersom punkterna $U$ och $V$ finns i raderna $u$ , $v$ resp., är punkterna $U$ och $V$ är punkter på könen och linjerna $u,v$ är tangenter vid $U,V$ .

Inneboende koner i en linjär infallsgeometri

Steinerkonstruktionen definierar konikerna i en plan linjär infallsgeometri (två punkter bestämmer högst en linje och två linjer skär varandra i högst en punkt), det vill säga genom att endast använda kollineringsgruppen. Specifikt $E(T,P)$ den koniska vid punkten $P$ som ges av kollineringen ${\displaystyle T} ,$ bestående av skärningspunkterna mellan $L$ och $T(L)$ för alla linjer $L$ till $P$ . Om $T(P)=P$ eller $T(L)=L$ för några $L$ så är koniken degenererad . Till exempel, i det reella koordinatplanet, bestäms den affina typen (ellips, parabel, hyperbel) av $E(T,P)$ av spåret och determinanten för matriskomponenten av ${ \displaystyle T}$ , oberoende av $P$ .

Däremot består kollineringsgruppen för det verkliga hyperboliska planet $\mathbb {H} ^{2}$ av isometrier. Följaktligen omfattar de inneboende konerna en liten men varierad delmängd av de allmänna konerna, kurvor som erhålls från skärningspunkterna mellan projektiva koner med en hyperbolisk domän. Vidare, till skillnad från det euklidiska ${ \displaystyle E(T,P)}$ , finns det ingen överlappning mellan den direkta $E(T,P)$ - $T$ bevarar orientering - och den motsatta - $T$ vänder orienteringen. Det direkta fallet inkluderar centrala (två vinkelräta symmetrilinjer) och icke-centrala käglor, medan varje motsatt kägelform är central. Även om direkta och motsatta centrala koner inte kan vara kongruenta, är de relaterade av en kvasisymmetri definierad i termer av komplementära parallellitetsvinklar. I varje inversiv modell av $\mathbb {H} ^{2}$ är alltså varje direkt central konisk birationellt ekvivalent med en motsatt central konisk. Faktum är att de centrala käglarna representerar alla släktets 1-kurvor med verklig forminvariant $j\geq 1$ . En minimal uppsättning representanter erhålls från de centrala direkta konikerna med gemensamt centrum och symmetriaxel, varvid forminvarianten är en funktion av excentriciteten , definierad i termer av avståndet mellan $P$ och ${ \displaystyle T(P)}$ . De ortogonala banorna för dessa kurvor representerar alla släktets 1-kurvor med ${\displaystyle j\leq 1} ,$ vilka manifesteras som antingen irreducerbara kubik eller bicirkulära kvarts. Med hjälp av den elliptiska kurva additionslagen på varje bana, sönderfaller varje allmän central kägel i $\mathbb {H} ^{2}$ unikt som summan av två inre käglor genom att lägga till par av punkter där kägeln skär varje bana .

Anteckningar

• Coxeter, HSM (1993), The Real Projective Plane , Springer Science & Business Media
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- och Minkowski Planes (PDF) , hämtad 20 september 2014 (PDF; 891 kB).
•   Merserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry , Dover, ISBN 0-486-63415-9