Segres teorem

till definitionen av en finit oval: $t$ tangent, $s_{1},...s_{n}$ sekanter, $n$ är ordningen för det projektiva planet (antal punkter på en linje -1)

I projektiv geometri är Segres teorem , uppkallad efter den italienske matematikern Beniamino Segre , påståendet:

• Varje oval i ett ändligt pappian projektivt plan av udda ordning är en icke degenererad projektiv konisk sektion .

Detta uttalande antogs 1949 av de två finska matematikerna G. Järnefelt och P. Gustavsheimo och dess bevis publicerades 1955 av B. Segre.

Ett ändligt pappiskt projektivt plan kan föreställas som den projektiva stängningen av det reella planet (med en linje i oändligheten), där de reella talen ersätts med ett ändligt fält K . Udda ordning betyder att | K | = n är udda. En oval är en kurva som liknar en cirkel (se definition nedan): vilken linje som helst möter den i högst 2 punkter och genom vilken punkt som helst av den finns det exakt en tangent. Standardexemplen är de icke degenererade projektiva koniska sektionerna.

I pappiska projektiva plan av jämn ordning större än fyra finns ovaler som inte är koniska. I ett oändligt plan finns det ovaler, som inte är koniska. I det verkliga planet limmar man bara en halv cirkel och en lämplig ellips smidigt .

Beviset för Segres sats, som visas nedan, använder 3-punktsversionen av Pascals sats och en egenskap hos ett ändligt fält av udda ordning, nämligen att produkten av alla element som inte är noll är lika med -1.

Definition av en oval

Huvudartikel: Oval (projektivt plan)

• I ett projektivt plan kallas en uppsättning ${\displaystyle {\mathfrak {o}}} punkter$ oval , om:

(1) Vilken linje ${\displaystyle g} som helst$ möter ${\mathfrak {o}}$ på högst två poäng.

Om $|g\cap {\mathfrak {o}}|=0$ linjen $g$ är en yttre (eller passerande ) linje; i fall $|g\cap {\mathfrak {o}}|=1$ en tangentlinje och om $|g\cap {\mathfrak {o}}|=2$ linjen är en sekantlinje .

(2) För varje punkt $P\in {\mathfrak {o}}$ finns det exakt en tangent $t$ vid P , dvs. $t \cap {\mathfrak {o}}=\{P\}$ .

För ändliga plan (dvs. uppsättningen punkter är ändlig) har vi en mer bekväm karakterisering:

• För ett ändligt projektivt plan av ordningen n (dvs. vilken linje som helst innehåller n + 1 punkter) är en uppsättning ${\mathfrak {o}}$ punkter en oval om och endast om $|{\mathfrak {o}}|=n+1$ och inga tre punkter är kolinjära (på en gemensam linje).

Pascals 3-punktsversion

för beviset är $g_{\infty }$ tangenten vid $P_{3}$

Sats

Låt oss vara ${\mathfrak {o}}$ en oval i ett pappiskt projektivt plan med karakteristik $\neq 2$ . ${\mathfrak {o}}$ är en icke degenererad konisk om och endast om-sats (P3) gäller:

(P3): Låt vara $P_{1},P_{2},P_{3}$ vilken triangel som helst på $\displaystyle {\mathfrak {o}}}$${\overline {P_{i}P_{i}}}$ och tangenten i punkten $P_{i}$ till ${\mathfrak {o}}$ , sedan punkterna

${ \displaystyle P_{4}:={\overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}},\ P_{5}:={\overline { P_{2}P_{2}}}\cap {\overline {P_{1}P_{3}}},\ P_{6}:={\overline {P_{3}P_{3}}}\cap {\overline {P_{1}P_{2}}}}$

är kolinjära.

till beviset för 3-punkts Pascal-satsen

Bevis

Låt det projektiva planet koordineras inhomogent över ett fält $K$ så att $P_{3}=(0),\;g_{\infty }$ är tangenten vid $P_{3},\ (0,0)\in {\mathfrak {o}}$ , x-axeln är tangenten i punkten $\displaystyle ( 0,0)}$ och ${\mathfrak {o}}$ innehåller punkten $(1,1)$ . Dessutom sätter vi ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\;P_{2}=(x_{2},y_{2})\ .} ($ s. bild) Den ovala ${ \displaystyle {\mathfrak {o}}}$ kan beskrivas med en funktion $f:K\mapsto K$ så att:

${\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x)\}\ \cup \{(\infty )\}\ ;.$

Tangenten i punkten $(x_{0},f(x_{0}))$ kommer att beskrivas med en funktion $f'$ så att dess ekvation är

$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

Därför (s. bild)

$P_{5}=(x_{1},f'(x_{2})( x_{1}-x_{2})+f(x_{2}))$ och $P_{4}=(x_{2},f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})+f(x_{1}))\;.$

I: om ${\mathfrak {o}}$ är en icke degenererad kägel har vi $f(x)=x^{2}$ och $f'(x)=2x$ och man räknar enkelt ut att $P_{4},P_{5},P_{6}$ är kolinjära.

II: Om ${\mathfrak {o}}$ är en oval med egenskap (P3) , lutningen på linjen ${\overline {P_{4}P_{5}} }$ är lika med lutningen på linjen ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}} ,$ det betyder:

$f'(x_{2})+f'(x_{1})-{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}} ={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$ och därmed

(i): $(f'(x_{2})+f'(x_{1}))( x_{2}-x_{1})=2(f(x_{2})-f(x_{1}))$ för alla $x_{1},x_{2 }\in K$ .

Med $f(0)=f'(0)=0$ får man

(ii): $f'(x_{2})x_{2}=2f(x_{2})$ och från $f(1)=1$ får vi

(iii): $f'(1)=2\;.$

(i) och (ii) utbyte

(iv): $f'(x_{2})x_{1}=f'(x_{1})x_{2}$ och med (iii) får vi åtminstone

(v): $f'(x_{2})=2x_{2}$ för alla $x_ {2}\in K$ .

En konsekvens av (ii) och (v) är

$f(x_{2})=x_{2}^{2},\;x_{2}\in K$ .

Därför är ${\mathfrak {o}}$ en icke degenererad konisk.

Anmärkning: Egenskapen (P3) är uppfylld för varje oval i ett pappiskt projektivt plan av karakteristik 2 med en kärna (alla tangenter möts vid kärnan). I detta fall gäller alltså (P3) även för icke-koniska ovaler.

Segres sats och dess bevis

Sats

Varje oval ${\mathfrak {o}}$ i ett ändligt pappiskt projektivt plan av udda ordning är en icke degenererad konisk sektion.

3-punktsversion av Pascals teorem, för beviset antar vi $g_{\infty }={\overline {P_{2}P_{3}}}$

Segres teorem: till dess bevis

Bevis

Som bevis visar vi att ovalen har egenskapen (P3) hos 3-punktsversionen av Pascals sats.

Låt vara $P_{1},P_{2},P_{3}$ vilken triangel som helst på ${\mathfrak {o}}$ och $P_{4},P_{5},P_{6}$ definieras enligt beskrivningen i (P3) . Pappaplanet kommer att koordineras inhomogent över ett ändligt fält $K$ , så att $P_{3}=( \infty ),\;P_{2}=(0),\;P_{1}=(1,1)$ och $(0,0)$ är den gemensamma punkten för tangenterna vid $P_{2}$ och $P_{3}$ . Ovalen ${\mathfrak {o}}$ kan beskrivas med hjälp av en bijektiv funktion $f:K^{*}:=K\cup \setminus \{0\}\mapsto K^{*}$ :

${\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x),\;x\neq 0\}\;\cup \ ;\{(0),(\infty )\}\;.$

För en punkt ${\displaystyle P=(x,y),\;x\in K\setminus \{0,1\}} ,$ uttrycket $m(x)={\tfrac {f(x)-1}{x-1}}$ är lutningen för sekanten ${\overline {PP_{1}}}\;.$ Eftersom båda funktionerna $x\mapsto f(x)-1$ och ${\ displaystyle x\mapsto x-1}$ är bijektioner från $K\setminus \{0,1\}$ till $K\setminus \{0,- 1\}$ och $x\mapsto m(x)$ en bijektion från $K\setminus \{0,1\}$ till $K\setminus \{0,m_{1}\}$ , där $m_{1}$ är lutningen för tangenten vid $P_{1}$ , för $K^{**}:=K\setminus \{0,1\}\;:$ får vi

$\prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)=\prod _{x\in K^{**}}(x-1)=1\quad { \text{und}}\quad m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=-1\; .$

(Anmärkning: För $K^{*}:=K\setminus \{0\}$ har vi: $\displaystyle \ prod _{k\in K^{*}}k=-1\;.$ ) Därav

$-1=m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=m_{1}\cdot {\frac {\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)}{\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(x-1 )}}=m_{1}\;.$

Eftersom lutningarna för linjen ${\overline {P_{5}P_{6}}}$ och tangenten ${\overline {P_{1}P_{1} }}$ båda är $-1$ , det följer att ${\overline {P_{1}P_{ 1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}}=P_{4}\in {\overline {P_{5}P_{6}}}$ . Detta gäller för alla triangel $P_{1},P_{2},P_{3}\in {\mathfrak {o}}$ .

Så: (P3) i 3-punkts Pascal-satsen gäller och ovalen är en icke degenererad kon.

Källor

• B. Segre : Ovals in a finite projective plane , Canadian Journal of Mathematics 7 (1955), s. 414–416.
• G. Järnefelt & P. ​​Kustaanheimo: An observation on finite Geometries , Den 11 te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim (1949), s. 166–182.
•   Albrecht Beutelspacher , Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X , sid. 162.
•   P. Dembowski : Finita geometrier. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8 , sid. 149

externa länkar

• Simeon Ball och Zsuzsa Weiner: An Introduction to Finite Geometry [1] sid. 17.