André plan

Inom matematiken är André-plan en klass av finita översättningsplan som hittats av André. Desarguesian -planet och Hall-planen är exempel på André-plan; de tvådimensionella regelbundna närfältsplanen är också André-plan.

Konstruktion

Låt $\displaystyle F=GF(q)}$$K=GF(q^{n})$ vara ett ändligt fält och låt vara en grad $n$ tilläggsfält för $F$ . Låt $\Gamma$ vara gruppen av fältautomorfismer av $K$ över $F$ , och låt $\beta$ vara en godtycklig mappning från $F$ till $\Gamma$ så att $\beta (1)=1$ . Låt slutligen $N$ vara normfunktionen från $K$ till $F$ .

Definiera ett kvasifält $Q$ med samma element och addition som K, men med multiplikation definierad via $a\circ b=a^{\beta (N(b))}\cdot b$ , där $\cdot$ anger den normala fältmultiplikationen i $K$ . Att använda detta kvasifält för att konstruera ett plan ger ett André-plan.

Egenskaper

1. André-plan finns för alla egentliga primtal potenser $p^{n}$ med $p$ primtal och $n$ ett positivt heltal större än ett.
2. Icke-desarguesiska André-plan finns för alla egentliga primpotenser förutom $2^{n}$ där $n$ är primtal.

Små exempel

För plan av ordning 25 och lägre är klassificering av Andrè-plan en konsekvens av antingen teoretiska beräkningar eller datorsökningar som har bestämt alla översättningsplan av en given ordning:

• Det minsta icke-Desarguesiska André-planet har ordning 9, och det är isomorft med Hall-planet av den ordningen.
• Översättningsplanen av ordning 16 har alla klassificerats, och återigen är det enda icke-Desarguesiska André-planet Hall-planet .
• Det finns tre icke-Desarguesiska André-plan av storleksordningen 25. Dessa är Hall-planet , det vanliga närfältsplanet och ett tredje plan som inte kan konstrueras med andra tekniker.
• Det finns ett enda icke-Desarguesian André-plan av ordning 27.

Uppräkning av Andrè-plan specifikt har utförts för andra små beställningar:

Beställa	Antal icke-desarguesian Andrè flygplan
9	1
16	1
25	3
27	1
49	7
64	6 (fyra 2-d, två 3-d)
81	14 (13 2-d, en 4-d)
121	43
125	6