Homologisfär

I algebraisk topologi är en homologisfär ett n - manifold X som har homologigrupperna för en n - sfär , för något heltal $n\geq 1$ . Det är,

H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb { Z}

och

H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}

för alla andra i .

Därför är X ett anslutet utrymme , med ett högre Betti-tal som inte är noll , nämligen $b_{n}=1$ . Därav följer inte att X helt enkelt är ansluten , bara att dess grundläggande grupp är perfekt (se Hurewicz-satsen ) .

En rationell homologisfär definieras på liknande sätt men med användning av homologi med rationella koefficienter.

Poincaré-homologisfär

Poincarés homologisfär (även känd som Poincaré dodecahedral space) är ett särskilt exempel på en homologisfär, först konstruerad av Henri Poincaré . Eftersom det är en sfärisk 3-sfär , är den den enda homologi 3-sfären (förutom själva 3-sfären) med en finit fundamental grupp . Dess fundamentala grupp är känd som den binära icosahedriska gruppen och har ordning 120. Eftersom grundgruppen för 3-sfären är trivial, visar detta att det finns 3-grenrör med samma homologigrupper som 3-sfären som inte är homeomorfa mot Det.

Konstruktion

En enkel konstruktion av detta utrymme börjar med en dodekaeder . Varje yta av dodekaedern identifieras med sin motsatta yta, med den minimala vridningen medurs för att rada upp sidorna. Att limma ihop varje par av motsatta ytor med hjälp av denna identifiering ger ett slutet 3-grenrör. (Se Seifert–Weber utrymme för en liknande konstruktion, med mer "twist", som resulterar i ett hyperboliskt 3-grenrör .)

Alternativt kan Poincaré-homologisfären konstrueras som kvotutrymmet SO(3) /I _där I är den ikosaedriska gruppen (dvs. rotationssymmetrigruppen för den vanliga ikosaedern och dodekaedern, isomorf till den alternerande gruppen A5 ) . Mer intuitivt betyder detta att Poincaré-homologisfären är utrymmet för alla geometriskt urskiljbara positioner av en ikosaeder (med fast centrum och diameter) i euklidiskt 3-rum. Man kan också istället gå över till det universella täcket av SO(3) som kan realiseras som gruppen av enhetskvarternioner och är homeomorft till 3-sfären. I detta fall är Poincarés homologisfär isomorf till $S^{3}/{\widetilde {I}}$ där ${\widetilde {I}}$ är binär icosahedral group , den perfekta dubbla omslaget till I embedded in $S^{3}$ .

Ett annat tillvägagångssätt är genom Dehn-kirurgi . Poincaré-homologisfären är resultatet av +1-operation på den högerhänta trefoil-knuten .

Kosmologi

År 2003 ledde bristen på struktur på de största skalorna (över 60 grader) i den kosmiska mikrovågsbakgrunden som observerats under ett år av rymdfarkosten WMAP till förslaget, av Jean-Pierre Luminet från Observatoire de Paris och kollegor, att formen av universum är en Poincaré-sfär . 2008 fann astronomer den bästa orienteringen på himlen för modellen och bekräftade några av modellens förutsägelser, med hjälp av tre års observationer av rymdfarkosten WMAP. Från och med 2016 tyder publiceringen av dataanalys från Planck-rymdfarkosten att det inte finns någon observerbar icke-trivial topologi för universum.

Konstruktioner och exempel

Kirurgi på en knut i 3-sfären S ³ med inramning +1 eller −1 ger en homologisfär.
Mer generellt ger kirurgi på en länk en homologisfär närhelst matrisen som ges av skärningsnummer (utanför diagonalen) och ramar (på diagonalen) har determinant +1 eller -1.
Om p , q och r är parvis relativt primtal positiva heltal så är länken för singulariteten x ^p + y ^q + z ^r = 0 (med andra ord, skärningen av en liten 5-sfär runt 0 med denna komplexa yta) är ett Brieskorn-grenrör som är en homologi 3-sfär, kallad en Brieskorn 3-sfär Σ( p , q , r ). Det är homeomorft till standard 3-sfären om en av p , q och r är 1, och Σ(2, 3, 5) är Poincaré-sfären.
Den sammankopplade summan av två orienterade homologi-3-sfärer är en homologi-3-sfär. En homologi 3-sfär som inte kan skrivas som en ansluten summa av två homologi 3-sfärer kallas irreducible eller prime , och varje homologi 3-sfär kan skrivas som en ansluten summa av prime homologi 3-sfärer på ett väsentligen unikt sätt. (Se Prime sönderdelning (3-grenrör) .)
Antag att $a_{1},\ldots ,a_{r}$ är heltal alla minst 2 så att vilka två som helst är coprime. Sedan Seifert fiberutrymme

\{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,( a_{r},b_{r})\}\,

över sfären med exceptionella fibrer av grader a ₁ , ..., a _r är en homologisfär, där b :en är valda så att

{\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).} (Det finns alltid ett

sätt att välja b ′s, och homologisfären beror inte (upp till isomorfism) på valet av b ′s.) Om r är högst 2 är detta bara den vanliga 3-sfären; annars är de distinkta icke-triviala homologisfärer. Om a -talet är 2, 3 och 5 ger detta Poincaré-sfären. Om det finns minst 3 a ′s, inte 2, 3, 5, så är detta en acyklisk homologi 3-sfär med oändlig fundamental grupp som har en Thurston-geometri modellerad på det universella höljet av SL ₂ ( R ) .

Invarianter

Rokhlin -invarianten är en $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -värderad invariant av homologi 3-sfärer.
Casson -invarianten är en heltalsvärderad invariant av homologi 3-sfärer, vars reduktion mod 2 är Rokhlin-invarianten.

Ansökningar

Om A är en homologi 3-sfär som inte är homeomorf till standard 3-sfären, så är suspensionen av A ett exempel på ett 4-dimensionellt homologigrenrör som inte är ett topologiskt grenrör . Den dubbla suspensionen av A är homeomorf till standard 5-sfären, men dess triangulering (inducerad av viss triangulering av A ) är inte ett PL-grenrör . Med andra ord ger detta ett exempel på ett ändligt förenklat komplex som är ett topologiskt grenrör men inte ett PL-grenrör. (Det är inte ett PL-grenrör eftersom länken till en punkt inte alltid är en 4-sfär.)

Galewski och Stern visade att alla kompakta topologiska grenrör (utan gräns) med dimension minst 5 är homeomorfa till enkla komplex om och endast om det finns en homologi 3 sfär Σ med Rokhlin invariant 1 så att den sammankopplade summan Σ#Σ av Σ med sig själv begränsar ett jämnt acykliskt 4-grenrör. Från och med 2013 var förekomsten av en sådan homologi 3-sfär ett olöst problem. Den 11 mars 2013 Ciprian Manolescu ett förtryck på ArXiv och påstod sig visa att det inte finns någon sådan homologisfär med den givna egenskapen, och därför finns det 5-grenrör som inte är homeomorfa till enkla komplex. I synnerhet är exemplet som ursprungligen gavs av Galewski och Stern inte triangulerbart.

Se även

Vald läsning

Dror, Emmanuel (1973). "Homologisfärer" . Israel Journal of Mathematics . 15 :115–129. doi : 10.1007/BF02764597 . MR 0328926 .
Galewski, David; Stern, Ronald (1980). "Klassificering av enkla trianguleringar av topologiska grenrör". Annals of Mathematics . 111 (1): 1–34. doi : 10.2307/1971215 . JSTOR 1971215 . MR 0558395 .
Robion Kirby , Martin Scharlemann, Åtta ansikten av Poincaré-homologi 3-sfären . Geometrisk topologi (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), s. 113–146, Academic Press , New York-London, 1979.
Kervaire, Michel (1969). "Släta homologisfärer och deras grundläggande grupper". Transaktioner från American Mathematical Society . 144 : 67–72. JSTOR 1995269 . MR 0253347 .
Nikolai Saveliev, Invariants of Homology 3-Spheres , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Low-Dimensional Topology, I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7

externa länkar

En 16-vertex-triangulering av Poincaré-homologi 3-sfärer och icke-PL-sfärer med få hörn av Anders Björner och Frank H. Lutz
Föreläsning av David Gillman om Den bästa bilden av Poincares homologisfär