Rokhlins teorem

Inom 4-dimensionell topologi, en gren av matematiken, säger Rokhlins sats att om en slät , orienterbar, sluten 4- grenrör M har en spinnstruktur (eller, på motsvarande sätt, den andra Stiefel–Whitney-klassen $w_ {2}(M)$ försvinner), då är signaturen för dess skärningsform , en kvadratisk form på den andra kohomologigruppen $H^{2}(M)$ delbar med 16. teorem är uppkallad efter Vladimir Rokhlin , som bevisade det 1952.

Exempel

• ( Skärningsformen på M

$M,\mathbb {Z} )\times H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$

är unimodulär på $\mathbb {Z}$ av Poincaré-dualitet , och försvinnandet av ${\ displaystyle w_{2}(M)}$ innebär att skärningsformen är jämn. Enligt en sats av Cahit Arf , har vilket som helst unimodulärt gitter signatur delbart med 8, så Rokhlins sats tvingar en extra faktor 2 för att dividera signaturen.

• En K3-yta är kompakt, 4-dimensionell och $w_{2}(M)$ försvinner, och signaturen är −16, så 16 är det bästa möjliga talet i Rokhlins sats.
• En komplex yta i $\mathbb {CP} ^{3}$ av grad $d$ är spin om och endast om $d$ är jämnt. Den har signatur ${\displaystyle (4-d^{2})d/3} ,$ vilket kan ses från Friedrich Hirzebruchs signatursats . Fallet $d=4$ ger tillbaka det sista exemplet på en K3-yta .
• Michael Freedmans E8 -grenrör är ett enkelt sammankopplat kompakt topologiskt grenrör med försvinnande $w_{2}(M)$ och skärningsformen $E_{8}$ för signatur 8. Rokhlins sats antyder att detta grenrör inte har någon slät struktur . Denna mångfald visar att Rokhlins teorem misslyckas för uppsättningen av endast topologiska (snarare än släta) samlingsrör.
• Om grenröret M helt enkelt är anslutet (eller mer allmänt om den första homologigruppen inte har någon 2-torsion), så är försvinnandet av $w_{2}(M)$ ekvivalent med att skärningsformen är även. Detta är inte sant i allmänhet: en Enriques-yta är en kompakt slät 4-grenrör och har jämn skärningsform II _1,9 med signatur −8 (ej delbar med 16), men klassen $w_{2 }(M)$ försvinner inte och representeras av ett torsionselement i den andra kohomologigruppen.

Bevis

Rokhlins teorem kan härledas från det faktum att den tredje stabila homotopigruppen av sfärer $\pi _{3}^{S}$ är cyklisk av ordningen 24; detta är Rokhlins ursprungliga tillvägagångssätt.

Det kan också härledas från Atiyah–Singer indexsatsen . Se släktet och Rochlins sats .

Robion Kirby ( 1989 ) ger ett geometriskt bevis.

Rokhlin-invarianten

Eftersom Rokhlins teorem säger att signaturen för ett spinn jämnt grenrör är delbart med 16, härleds definitionen av Rokhlin-invarianten enligt följande:

För 3-manifold $N$ och en spinstruktur $s$ på $N$ , Rokhlin-invarianten $\mu (N,s)$ i $\mathbb {Z} /16\mathbb {Z}$ definieras som signaturen för varje smidig kompakt snurr 4-grenrör med snurrgräns $(N,s)$ .

Om N är ett spinn 3-grenrör så begränsar det ett spinn 4-grenrör M . Signaturen för M är delbar med 8, och en enkel tillämpning av Rokhlins teorem visar att dess värde mod 16 endast beror på N och inte på valet av M . Homologi 3-sfärer har en unik spinstruktur så att vi kan definiera Rokhlin-invarianten för en homologi 3-sfär till att vara elementtecknet $\displaystyle \operatorname {tecken} (M)/8}$ av $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , där M någon spin 4-grenrör som begränsar homologisfären.

Till exempel, Poincaré-homologisfären avgränsar ett spinn 4-grenrör med skärningsformen $E_{8}$ , så dess Rokhlin-invariant är 1. Detta resultat har några elementära konsekvenser: Poincaré-homologisfären tillåter inte en jämn inbäddning i $S^{4}$ , inte heller binder det ett Mazur-grenrör .

Mer generellt, om N är ett spinn 3-grenrör (till exempel, valfri $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ homologisfär), då signaturen för varje spinn 4-grenrör M med gräns N är väldefinierad mod 16, och kallas Rokhlin-invarianten av N . På ett topologiskt 3-manifold N hänvisar den generaliserade Rokhlin-invarianten till den funktion vars domän är spinnstrukturerna på N , och som utvärderas till Rokhlin-invarianten för paret $(N,s)$ där s är en spinnstruktur på N .

Rokhlin-invarianten av M är lika med hälften av Casson-invarianten mod 2. Casson-invarianten ses som det Z -värderade lyftet av Rokhlin-invarianten av integralhomologi 3-sfär.

Generaliseringar

Kervaire –Milnor-satsen ( Kervaire & Milnor 1960 ) säger att om $\Sigma$ är en karakteristisk sfär i ett smidigt kompakt 4-grenrör M , då

$\operatörsnamn {signatur} (M)=\Sigma \cdot \Sigma {\bmod {1}}6$ .

En karakteristisk sfär är en inbäddad 2-sfär vars homologiklass representerar Stiefel–Whitney-klassen $w_{2}(M)$ . Om $w_{2}(M)$ försvinner kan vi ta $\Sigma$ för att vara vilken liten sfär som helst som har självskärningsnummer 0, så Rokhlins sats följer.

Freedman –Kirby-satsen ( Freedman & Kirby 1978 ) säger att om $\Sigma$ är en karakteristisk yta i en slät kompakt 4-grenrör M , då

$\operatörsnamn {signatur} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatörsnamn {Arf} (M,\ Sigma ){\bmod {1}}6$ .

där $\operatorname {Arf} (M,\Sigma )$ är Arf-invarianten för en viss kvadratisk form på $H_{1} (\Sigma ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ . Denna Arf-invariant är uppenbarligen 0 om $\Sigma$ är en sfär, så Kervaire–Milnor-satsen är ett specialfall.

En generalisering av Freedman-Kirby-satsen till topologiska (snarare än jämna) grenrör säger att

$\operatorname {signatur} (M)=\Sigma \cdot \Sigma +8\operatörsnamn {Arf} (M,\Sigma )+8\operatörsnamn {ks} (M){\bmod {1}}6$ ,

där $\operatorname {ks} (M)$ är Kirby–Siebenmann-invarianten av M . Kirby–Siebenmann-invarianten av M är 0 om M är jämn.

Armand Borel och Friedrich Hirzebruch bevisade följande teorem: Om X är ett jämnt kompakt spinngrenrör med dimension som är delbart med 4 så är släktet ett heltal, och är även om dimensionen på X är 4 mod 8. Detta kan härledas från Atiyah–Singer indexsats : Michael Atiyah och Isadore Singer visade att släktet  är indexet för Atiyah–Singer-operatorn, som alltid är integral, och är till och med i dimensionerna 4 mod 8. För ett 4-dimensionellt grenrör, Hirzebruch- signaturen teorem visar att signaturen är −8 gånger  släktet, så i dimension 4 antyder detta Rokhlins sats.

Ochanine (1980) bevisade att om X är ett kompakt orienterat grenrör för jämn spinning av dimension 4 mod 8, så är dess signatur delbar med 16.

•   Freedman, Michael ; Kirby, Robion , "A geometric proof of Rochlin's theorem", i: Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), del 2, s. 85–97, Proc. . Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Matematik. Soc., Providence, RI, 1978. MR 0520525 ISBN 0-8218-1432-X
•    Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0089031 , ISBN 0-387-51148-2 , MR 1001966
• Kervaire, Michel A. ; Milnor, John W. , "Bernoulli-tal, homotopigrupper och en sats av Rohlin", 1960 Proc. Internat. Kongress matematik. 1958, s. 454–458, Cambridge University Press , New York. MR 0121801
• Kervaire, Michel A. ; Milnor, John W. , På 2-sfärer i 4-grenrör. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 47 (1961), 1651-1657. MR 0133134
• Matsumoto, Yoichirou (1986). "Ett elementärt bevis på Rochlins signatursats och dess förlängning av Guillou och Marin" ( PDF) . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp ) ; Extern länk i |ref= ( hjälp )
•    Michelsohn, Marie-Louise ; Lawson, H. Blaine (1989), Spin geometri , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08542-0 , MR 1031992 (särskilt sidan 280)
• Ochanine, Serge, "Signature modulo 16, invariants de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Matematik. Frankrike 1980/81, nr. 5, 142 s. MR 1809832
• Rokhlin, Vladimir A. , Nya resultat i teorin om fyrdimensionella grenrör , Doklady Acad. Nauk. SSSR (NS) 84 (1952) 221–224. MR 0052101
•    Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3749-8 , MR 2136212 .
•    Szűcs, András (2003), "Two Theorems of Rokhlin", Journal of Mathematical Sciences , 113 (6): 888–892, doi : 10.1023/A:1021208007146 , MR 1809832 11 S717ID 11 S2CID5