Sfäriskt 3-grenrör

I matematik är ett sfäriskt 3-grenrör M ett 3-grenrör av formen

$M=S^{3}/\Gamma$

där $\Gamma$ är en finit undergrupp av SO(4) som verkar fritt genom rotationer på 3-sfären $S^{3}$ . Alla sådana grenrör är prime , orienterbara och slutna . Sfäriska 3-grenrör kallas ibland elliptiska 3-grenrör eller Clifford-Klein-grenrör.

Egenskaper

Ett sfäriskt 3-grenrör $S^{3}/\Gamma$ har en finit fundamental grupp som är isomorf till Γ själv. Elliptiseringsförmodan , bevisad av Grigori Perelman , säger att omvänt alla kompakta 3 - grenrör med ändlig grundgrupp är sfäriska grenrör.

Den grundläggande gruppen är antingen cyklisk eller är en central förlängning av en dihedral , tetraedrisk , oktaedral eller icosahedral grupp av en cyklisk grupp av jämn ordning. Detta delar upp uppsättningen av sådana grenrör i 5 klasser, som beskrivs i följande avsnitt.

De sfäriska grenrören är exakt grenrören med sfärisk geometri, en av de 8 geometrierna i Thurstons geometriseringsförmodan .

Cykliskt fodral (linsutrymmen)

Förgreningsrören $S^{3}/\Gamma$ med Γ cyklisk är just de 3-dimensionella linsutrymmena . Ett linsutrymme bestäms inte av dess fundamentala grupp (det finns icke- homeomorfa linsutrymmen med isomorfa fundamentala grupper); men alla andra sfäriska grenrör är det.

Tredimensionella linsutrymmen uppstår som kvoter av $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ genom verkan av gruppen som genereras av element i formen

${\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.$

där $\omega =e^{2\pi i/p}$ . Ett sådant linsutrymme $L(p;q)$ har grundgrupp $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ för alla $q$ , så mellanslag med olika $p$ är inte homotopiekvivalenta. Dessutom är klassificeringar upp till homeomorfism och homotopi-ekvivalens kända, enligt följande. De tredimensionella utrymmena $L(p;q_{1})$ och $L(p;q_{2})$ är:

1. homotopi ekvivalent om och endast om $q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}$ för vissa $n\in \mathbb {N} ;$
2. homeomorf om och endast om $q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.$

Speciellt ger linsutrymmena L (7,1) och L (7,2) exempel på två 3-grenrör som är homotopiekvivalenta men inte homeomorfa.

Linsutrymmet L (1,0) är 3-sfären och linsutrymmet L (2,1) är 3-dimensionellt verkligt projektivt utrymme.

Linsutrymmen kan representeras som Seifert-fiberutrymmen på många sätt, vanligtvis som fiberutrymmen över 2-sfären med högst två exceptionella fibrer, även om linsutrymmet med grundläggande grupp av ordning 4 också har en representation som ett Seifert-fiberutrymme över projektivt plan utan exceptionella fibrer.

Dihedral hölje (prismagrenrör)

Ett prismagrenrör är ett slutet 3-dimensionellt grenrör M vars grundgrupp är en central förlängning av en dihedrisk grupp.

Grundgruppen π ₁ ( M ) av M är en produkt av en cyklisk grupp av ordningen m med en grupp med presentation

$\langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2 ^{k}}=y^{n}\rangle$

för heltal k , m , n med k ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 2 och m coprime till 2 n .

Alternativt har den grundläggande gruppen presentation

$\langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m }=y^{n}\rangle$

för coprime heltal m , n med m ≥ 1, n ≥ 2. ( N här är lika med föregående n och m här är 2 ^{k -1} gånger föregående m .)

Vi fortsätter med den senare presentationen. Denna grupp är en metacyklisk grupp av ordningen 4 mn med abelianisering av ordningen 4 m (så m och n bestäms båda av denna grupp). Elementet y genererar en cyklisk normal undergrupp av ordningen 2 n , och elementet x har ordningen 4 m . Centrum är cykliskt av ordningen 2 m och genereras av x 2 ^, och kvoten av mitten är den dihedriska gruppen av ordningen 2 n .

När m = 1 är denna grupp en binär dihedral eller dicyklisk grupp . Det enklaste exemplet är m = 1, n = 2, när π ₁ ( M ) är kvaterniongruppen av ordning 8.

Prismagrenrör bestäms unikt av sina fundamentala grupper: om ett slutet 3-grenrör har samma fundamentala grupp som ett prismagrenrör M är det homeomorft till M .

Prismagrenrör kan representeras som Seifert-fiberutrymmen på två sätt.

Tetraedriskt fall

Grundgruppen är en produkt av en cyklisk grupp av ordningen m med en grupp som har presentation

$\langle x,y ,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k} }=1\rangle$

för heltal k , m med k ≥ 1, m ≥ 1 och m coprime till 6.

Alternativt har den grundläggande gruppen presentation

$\langle x,y ,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\ rangle$

för ett udda heltal m ≥ 1. ( M här är 3 ^{k -1} gånger föregående m .)

Vi fortsätter med den senare presentationen. Denna grupp har order 24 m . Elementen x och y genererar en normal undergrupp som är isomorf till quaterniongruppen av ordning 8. Centrum är cykliskt av ordningen 2 m . Den genereras av elementen z ³ och x ² = y ² , och kvoten av mitten är den tetraedriska gruppen, ekvivalent, den alternerande gruppen A ₄ .

När m = 1 är denna grupp den binära tetraedriska gruppen .

Dessa grenrör bestäms unikt av deras grundläggande grupper. De kan alla representeras på ett väsentligt unikt sätt som Seifert-fiberutrymmen : kvotgrenröret är en sfär och det finns 3 exceptionella fibrer av ordning 2, 3 och 3.

Octaedral fall

Grundgruppen är en produkt av en cyklisk grupp av ordningen m coprime till 6 med den binära oktaedriska gruppen (av ordningen 48) som har presentationen

$\langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .$

Dessa grenrör bestäms unikt av deras grundläggande grupper. De kan alla representeras på ett väsentligt unikt sätt som Seifert-fiberutrymmen : kvotgrenröret är en sfär och det finns 3 exceptionella fibrer av ordning 2, 3 och 4.

Icosahedral fall

Grundgruppen är en produkt av en cyklisk grupp av ordningen m coprime till 30 med den binära icosaedriska gruppen (ordning 120) som har presentationen

$\langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .$

När m är 1 är grenröret Poincaré-homologisfären .

Dessa grenrör bestäms unikt av deras grundläggande grupper. De kan alla representeras på ett väsentligt unikt sätt som Seifert-fiberutrymmen: kvotgrenröret är en sfär och det finns 3 exceptionella fibrer av ordning 2, 3 och 5.

•   Peter Orlik , Seifert manifolds , Lecture Notes in Mathematics, vol. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN 0-387-06014-6
•   William Jaco , föreläsningar om 3-manifold topologi ISBN 0-8218-1693-4
•   William Thurston , Tredimensionell geometri och topologi. Vol. 1 . Redigerad av Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press , Princeton, New Jersey , 1997. ISBN 0-691-08304-5