Hilberts trettonde problem
Hilberts trettonde problem är ett av de 23 Hilbertproblem som anges i en hyllad lista som sammanställdes 1900 av David Hilbert . Det innebär att bevisa om det finns en lösning för alla 7:e gradens ekvationer med hjälp av algebraiska (variant: kontinuerlig ) funktioner av två argument . Det presenterades först i samband med nomografi , och i synnerhet "nomografisk konstruktion" - en process där en funktion av flera variabler konstrueras med hjälp av funktioner av två variabler. Varianten för kontinuerliga funktioner löstes jakande 1957 av Vladimir Arnold när han bevisade Kolmogorov-Arnolds representationsteorem, men varianten för algebraiska funktioner förblir olöst.
Introduktion
William Rowan Hamilton visade 1836 att varje sjundegradsekvation kan reduceras via radikaler till formen .
Beträffande denna ekvation frågade Hilbert om dess lösning, x , betraktad som en funktion av de tre variablerna a , b och c , kan uttryckas som sammansättningen av ett ändligt antal funktioner med två variabler.
Historia
Hilbert ställde ursprungligen sitt problem för algebraiska funktioner (Hilbert 1927, "...Existenz von algebraischen Funktionen...", dvs "...existensen av algebraiska funktioner..."; se även Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). Men Hilbert frågade också i en senare version av detta problem om det finns en lösning i klassen kontinuerliga funktioner .
En generalisering av den andra ("kontinuerliga") varianten av problemet är följande fråga: kan varje kontinuerlig funktion av tre variabler uttryckas som en sammansättning av ändligt många kontinuerliga funktioner av två variabler? Det jakande svaret på denna allmänna fråga gavs 1957 av Vladimir Arnold , då bara nitton år gammal och elev till Andrey Kolmogorov . Kolmogorov hade under föregående år visat att vilken funktion som helst av flera variabler kan konstrueras med ett ändligt antal trevariable funktioner. Arnold utvidgade sedan detta arbete för att visa att endast tvåvariabla funktioner i själva verket krävdes, vilket besvarade Hilberts fråga när den ställdes för klassen av kontinuerliga funktioner.
Arnold återvände senare till den algebraiska versionen av problemet, tillsammans med Goro Shimura (Arnold och Shimura 1976).
- Shreeram S. Abhyankar, " Hilberts trettonde problem ", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. kongr. , 2, Soc. Matematik. Frankrike, Paris, 1997.
- VI Arnold och G. Shimura, Superposition of algebraic functions (1976), i Mathematical Developments Arising From Hilbert Problems , Volym 1, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 28 (1976), s. 45-46.
- D. Hilbert, "Über die Gleichung neunten Grades", Math. Ann. 97 (1927), 243–250, tillgänglig online
- GG Lorentz, Approximation of Functions (1966), kap. 11
- AG Vitushkin, " Om Hilberts trettonde problem och relaterade frågor ", Uspekhi Mat. Nauk 59:1 (2004), 11 24. ( English Translation in Russian Math. Surveys 59 (2004), nr 1, 11–25) DOI: 10.1070/RM2004v059n01ABEH000698.
- Farb, Benson; Wolfson, Jesse (2020). "Resolvent grad, Hilberts 13:e problem och geometri" . L'Enseignement Mathématique . 65 (3): 303–376. arXiv : 1803.04063 . doi : 10.4171/LEM/65-3/4-2 . ISSN 0013-8584 . S2CID 14000951 .
Se även
externa länkar
- Ornes, Stephen (14 januari 2021). "Matematiker återuppväcker Hilberts 13:e problem" . Quanta Magazine .