Herbert Federer

Herbert Federer (23 juli 1920 – 21 april 2010) var en amerikansk matematiker . Han är en av skaparna av geometrisk måttteori , vid mötesplatsen för differentialgeometri och matematisk analys .

Karriär

Federer föddes den 23 juli 1920 i Wien , Österrike . Efter att ha emigrerat till USA 1938 studerade han matematik och fysik vid University of California, Berkeley, och fick doktorsexamen. som elev till Anthony Morse 1944. Han tillbringade sedan praktiskt taget hela sin karriär som medlem av Brown University Mathematics Department, där han så småningom gick i pension med titeln professor emeritus.

Federer skrev mer än trettio forskningsartiklar utöver sin bok Geometric measure theory . Mathematics Genealogy Project tilldelar honom nio Ph.D. studenter och långt över hundra efterföljande ättlingar. Hans mest produktiva studenter inkluderar den avlidne Frederick J. Almgren, Jr. (1933–1997), professor i Princeton i 35 år, och hans sista student, Robert Hardt , nu vid Rice University.

Federer var medlem av National Academy of Sciences . 1987 vann han och hans Brown-kollega Wendell Fleming American Mathematical Societys Steele-pris "för deras banbrytande arbete inom normala och integrerade strömningar ."

Matematiskt arbete

På 1940- och 1950-talen gjorde Federer många bidrag på det tekniska gränssnittet för geometri och måttteori. Särskilda teman inkluderade ytarea, uppsättningars likbarhet och i vilken utsträckning man kunde ersätta jämnhet med jämnhet i den klassiska analysen av ytor. En särskilt anmärkningsvärd tidig prestation (som förbättrar tidigare arbete av Abram Besicovitch ) var karakteriseringen av rent okorrigerbara uppsättningar som de som "försvinner" under nästan alla projektioner. Federer gjorde också anmärkningsvärda bidrag till studiet av Greens teorem i låg regelbundenhet. Teorin om kapacitet med modifierade exponenter utvecklades av Federer och William Ziemer. I sin första publicerade artikel, skriven med sin Ph.D. rådgivare Anthony Morse , Federer bevisade Federer-Morse-satsen som säger att varje kontinuerlig sprutning mellan kompakta metriska utrymmen kan begränsas till en Borel-delmängd för att bli en injektion, utan att bilden ändras.

En av Federers mest kända artiklar, Curvature Measures , publicerades 1959. Avsikten är att etablera måttteoretiska formuleringar av andra ordningens analys i differentialgeometri, särskilt krökning . Steinerformeln bildade ett grundläggande prejudikat för Federers arbete ; den fastställde att volymen av en grannskap av en konvex uppsättning i euklidiska rymden ges av ett polynom. Om gränsen för den konvexa uppsättningen är en jämn undergren, definieras koefficienterna för Steinerformeln av dess krökning. Federers arbete syftade till att utveckla en generell formulering av detta resultat. Klassen av delmängder som han identifierade är de med positiv räckvidd , som subsumerar både klassen av konvexa uppsättningar och klassen av släta undergrenar. Han bevisade Steinerformeln för denna klass och identifierade generaliserade quermassintegraler (kallade krökningsmått av Federer) som koefficienter. I samma papper bevisade Federer koareaformeln , som har blivit ett standardresultat i läroboken i måttteori .

Federers andra landmärkepapper, Normal and Integral Currents , skrevs tillsammans med Wendell Fleming . I sitt arbete visade de att Plateaus problem för minimala ytor kan lösas i klassen integralströmmar , som kan ses som generaliserade undergrenar. Dessutom identifierade de nya resultat om det isoperimetriska problemet och dess relation till Sobolevs inbäddningssats . Deras uppsats invigde en ny och fruktbar period av forskning om en stor klass av geometriska variationsproblem, och särskilt minimala ytor.

1969 publicerade Federer sin bok Geometric Measure Theory , som är bland de mest citerade böckerna inom matematik. Det är ett omfattande arbete som börjar med en detaljerad redogörelse för multilinjär algebra och måttteori . Huvuddelen av arbetet ägnas åt en studie av likriktbarhet och teorin om strömningar . Boken avslutas med tillämpningar på variationskalkylen . Federers bok anses vara en auktoritativ text om detta material, och inkluderade ett antal nya resultat utöver mycket material från tidigare forskning av Federer och andra. Mycket av hans bok diskussion om strömningar och deras tillämpningar är begränsade till integralkoefficienter. Han utvecklade senare den grundläggande teorin i inställningen av verkliga koefficienter.

Ett särskilt resultat som beskrivs i Federers bok är att areaminimerande minimala hyperytor i det euklidiska utrymmet är jämna i låga dimensioner. Ungefär samtidigt Enrico Bombieri , Ennio De Giorgi och Enrico Giusti att en minimal hyperkon i det åttadimensionella euklidiska rymden , först identifierad av James Simons , är områdesminimerande. Som sådan är det direkt att konstruera areaminimerande minimala hyperytor av det euklidiska rummet som har singulära uppsättningar av kodimension sju. 1970 bevisade Federer att denna kodimension är optimal: alla sådana singulära uppsättningar har en kodimension på minst sju. Hans dimensionsreduktionsargument för detta ändamål har blivit en standarddel av litteraturen om geometrisk måttteori och geometrisk analys . Senare hittade Federer också ett nytt bevis på resultatet av Bombieri–De Giorgi–Giusti.

Stora publikationer

Federer var författare till ett trettiotal forskningsartiklar, tillsammans med sin berömda lärobok Geometric Measure Theory .

F59.
   Federer, Herbert (1959). "Krökningsmått" . Transaktioner från American Mathematical Society . 93 (3): 418–491. doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0110078-1 . MR 0110078 . Zbl 0089.38402 .
FF60.
    Federer, Herbert; Fleming, Wendell H. (1960). "Normala och integrerade strömmar". Annals of Mathematics . Andra serien. 72 (3): 458–520. doi : 10.2307/1970227 . JSTOR 1970227 . MR 0123260 . Zbl 0187.31301 .
F69.
    Federer, Herbert (1969). Geometrisk måttteori . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN 978-3-540-60656-7 . MR 0257325 . Zbl 0176.00801 .
F70.
FZ73.
F75.
  1. ^ "NAS medlemsregister: Federer, Herbert" . National Academy of Sciences . Hämtad 15 juni 2010 .
  2. ^ Parks, H. (2012) Remembering Herbert Federer (1920–2010) , NAMS 59 (5), 622-631.
  3. ^ Federer 1969 .
  4. ^ Pertti Mattila. Geometri av mängder och mått i euklidiska utrymmen.
  5. ^ Vladimir Maz'ya. Sobolev utrymmen. Med tillämpningar på elliptiska partiella differentialekvationer.
  6. ^ Parthasarathy, KR (1967). Sannolikhetsmått på metriska utrymmen . Sannolikhet och matematisk statistik. New York-London: Academic Press, Inc.
  7. ^ Rolf Schneider. Konvexa kroppar: Brunn-Minkowski-teorin.
  8. ^ Evans och Gariepy. Mätteori och funktioners fina egenskaper.
  9. ^ Goffman, Casper (1971). "Recension: Geometrisk måttteori , av Herbert Federer" . Bulletin från American Mathematical Society . 77 (1): 27–35. doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12603-4 .
  10. ^ Enrico Giusti. Minimala ytor och funktioner av begränsad variation.
  11. ^ Leon Simon. Föreläsningar om geometrisk måttteori.

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Herbert_Federer&oldid=1111924001 "