Gaudin modell

Inom fysiken är Gaudin -modellen , ibland känd som kvant- Gaudin-modellen, en modell, eller en stor klass av modeller, inom statistisk mekanik som först beskrevs i sitt enklaste fall av Michel Gaudin . De är exakt lösbara modeller och är också exempel på kvantspinnkedjor .

Historia

Det enklaste fallet beskrevs först av Michel Gaudin 1976, med den associerade Lie-algebra som antogs vara ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}} ,$ den tvådimensionella speciella linjära gruppen .

Matematisk formulering

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en halvenkel Lie-algebra med ändlig dimension $d$ .

Låt $N$ vara ett positivt heltal. På det komplexa planet $\mathbb {C}$ , välj $N$ olika punkter, $z_{i}$ .

Beteckna med $V_{\lambda }$ den ändligt dimensionella irreducerbara representationen av ${\mathfrak {g}}$ som motsvarar det dominanta integralelementet $\lambda$ . Låt $({\boldsymbol {\lambda }}):=(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N})$ vara en uppsättning dominanta integralvikter av ${\mathfrak {g}}$ . Definiera tensorprodukten $V_{({\boldsymbol {\lambda }})}:=V_{\lambda _{1}}\otimes \cdots \otimes V_{\lambda _{N}}$ .

Modellen specificeras sedan av en uppsättning operatorer $H_{i}$ som verkar på ${\displaystyle V_{({\boldsymbol {\lambda }})}} ,$ känd som Gaudin Hamiltonians . De beskrivs enligt följande.

Beteckna med $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ den invarianta skalära produkten på ${\mathfrak {g}}$ (detta tas ofta för att vara Killing-formen ). Låt $\{I_{a}\}$ vara en grund för ${\mathfrak {g}}$ och $\{I^{a}\}$ vara den dubbla basen som ges genom den skalära produkten. För ett element ${\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} ,$ beteckna med $A^{(i)}$ operatorn ${ \displaystyle 1\otimes \cdots \otimes A\otimes \cdots \otimes 1}$ som fungerar som $A$ på i $\displaystyle i}:$ e faktorn av $V_{({\ fetsymbol {\lambda }})}$ och som identitet på de andra faktorerna. Sedan

$$H_{i}=\sum _{j\neq i}\sum _{a=1}^{d}{\frac {I_{a}^{(i)}I^{a(j) }}{z_{i}-z_{j}}}.$$

Dessa operatörer pendlar ömsesidigt. Ett problem av intresse i teorin om Gaudins modeller är att hitta samtidiga egenvektorer och egenvärden för dessa operatorer.

Istället för att arbeta med flera Gaudin Hamiltonianer finns det en annan operator ${\displaystyle S(u)} ,$ ibland kallad Gaudin Hamiltonian . Det beror på en komplex parameter $u$ , och även på den kvadratiska Casimir , som är ett element i den universella enveloping-algebran ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})} ,$ definierad som

$$\Delta ={\frac {1}{2}}\sum _{a=1}^{d}I_{a}I^{a}.$$

Detta verkar på representationerna $V_{({\boldsymbol {\lambda }})}$ genom att multiplicera med ett tal som är beroende av representationen, betecknat $\Delta (\lambda )$ . Detta kallas ibland för representationens index. Gaudin Hamiltonian definieras sedan

$$S(u)=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {H_{i}}{u-z_{i}}}+{\frac {\Delta (\ lambda _{i})}{(u-z_{i})^{2}}}\höger].$$

Kommutativitet för $S(u)$ för olika värden på $u$ följer av kommutativiteten för $H_{i}$ .

Högre Gaudin Hamiltonians

När ${\mathfrak {g}}$ har rang som är större än 1, kan pendlingsalgebra som spänner över av Gaudin Hamiltonians och identiteten utökas till en större pendlingsalgebra, känd som Gaudin-algebra. I likhet med Harish-Chandra-isomorfismen har dessa pendlingselement associerade grader. För ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}$ spänner Gaudin Hamiltonians och identiteten över Gaudins algebra. Det finns en annan pendlingsalgebra som är "universell", som ligger till grund för Gaudin-algebra för alla val av platser och vikter, kallad Feigin-Frenkel-centret. Se här .

Sedan definierar egenvektorer för Gaudin-algebra linjära funktionaler på algebra. Om $X$ är ett element i Gaudins algebra ${\mathfrak {G}}$ och $v$ en egenvektor till Gaudinalgebran, erhåller man en linjär funktionell $\chi _{v}:{\mathfrak {G}}\rightarrow \mathbb {C}$ ges av

$$Xv=\chi _{v}(X)v.$$

Den linjära funktionella $\chi _{v}$ kallas ett tecken i Gaudins algebra. Att bestämma egenvärden blir då en fråga om att bestämma tecken på Gaudin-algebra.

Lösningar

En lösning på en Gaudin-modell innebär ofta att bestämma spektrumet för Gaudin Hamiltonian eller Gaudin Hamiltonian. Det finns flera lösningar, inklusive

• Algebraisk Bethe ansatz , använd av Gaudin
• Separation av variabler, som används av Sklyanin
• Korrelationsfunktioner , med en metod beskriven av Feigin , Frenkel och Reshetikhin .
• Operatörer

Algebraisk Bethe ansatz

För sl ₂

För ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}},$ låt $\{E,H,F\}$ vara standardbasen. För alla $X\in {\mathfrak {g}}$ , kan man definiera den operatorvärderade meromorfa funktionen

$$X(z)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {X^{(i)}}{z-z_{i}}}.$$

Dess rest vid $z=z_{i}$ är $X^{(i)}$ , medan $\lim _{z\rightarrow \infty }zX(z)=\summa _{i=1}^{N}X^{(i)}=: X^{(\infty )},$ den 'fulla' tensorrepresentationen.

X $X(z)$ och $X^{(\infty )}$ flera användbara egenskaper

• $[X(z),Y^{(\infty )}]=[X,Y](z)$
• $S(u)={\frac {1}{2}}\summa _{a}I_{a}(z) I^{a}(z)$
• $[H_{i},X^{(\infty )}]=0$

men $X(z)$ bildar ingen representation: $[X(z) ,Y(z)]=-[X,Y]'(z)$ . Den tredje egenskapen är användbar eftersom den tillåter oss att även diagonalisera med avseende på $H^{\infty }$ , för vilken en diagonal (men degenererad) bas är känd.

För en ${\mathfrak {sl}}_{2}$ Gaudin-modell specificerad av platser $z_{1},\cdots ,z_{N}\ i \mathbb {C}$ och vikter ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}\in \mathbb {N} } ,$ definiera vakuumvektorn att vara tensorprodukten av de högsta vikttillstånden från varje representation: $v_{0}:=v_{\lambda _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\lambda _{N}}$ .

En Bethe-vektor (med spinavvikelse $m$ ) är en vektor av formen

$$F(w_{1})\cdots F(w_{m})v_{0}$$

för $w_{i}\in \mathbb {C}$ . Att gissa egenvektorer av formen av Bethe-vektorer är Bethe-ansatz . Det kan visas att en Bethe-vektor är en egenvektor till Gaudin Hamiltonians om ekvationsuppsättningen

$$\sum _{i=1}^{N}{\frac {\lambda _{i} }{w_{k}-z_{i}}}-2\sum _{j\neq k}{\frac {1}{w_{k}-w_{j}}}=0$$

håller för varje $k$ mellan 1 och $m$ . Dessa är Bethe ansatz-ekvationerna för spinavvikelse $m$ . För $m=1$ reduceras detta till

$${\boldsymbol {\lambda }}(w):=\summa _{i=1}^{N}{\ frac {\lambda _{i}}{w-z_{i}}}=0.$$

Fullständighet

I teorin kan Bethe ansatz-ekvationerna lösas för att ge egenvektorerna och egenvärdena för Gaudin Hamiltonian. I praktiken, om ekvationerna helt ska lösa spektralproblemet, måste man också kontrollera

• Antalet lösningar som förutspås av Bethe-ekvationerna
• Mångfalden av lösningar

Om, för en specifik konfiguration av platser och vikter, Bethe-ansatz genererar alla egenvektorer, sägs den vara komplett för den konfigurationen av Gaudin-modellen. Det är möjligt att konstruera exempel på Gaudins modeller som är ofullständiga. Ett problem i teorin om Gaudins modeller är då att bestämma när en given konfiguration är komplett eller inte, eller åtminstone karakterisera "modellutrymmet" för vilket Bethe ansatz är komplett.

För allmänt komplext enkelt g

Analoger av Bethe ansatz-ekvationen kan härledas för Lie-algebror av högre rang. Dessa är dock mycket svårare att härleda och lösa än fallet ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}.$ Dessutom, för ${\mathfrak {g}}$ med rang högre än 1, det vill säga alla andra förutom ${\mathfrak {sl}}_{2}$ , finns det högre Gaudin Hamiltonians, för vilka det är okänt hur man generaliserar Bethe-ansatzen.

Generaliseringar

Det finns generaliseringar som härrör från att försvaga begränsningen av att ${\mathfrak {g}}$ är en strikt semi-enkel Lie-algebra. Till exempel, när ${\mathfrak {g}}$ tillåts vara en affin Lie-algebra kallas modellen en affin Gaudin-modell.

Ett annat sätt att generalisera är att välja ut en föredragen automorfism för en viss Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Man kan då definiera Hamiltonianer som förvandlas fint under inverkan av automorfismen. En klass av sådana modeller är cyklotomiska Gaudin-modeller.

Det finns också en föreställning om klassisk Gaudin-modell . Historiskt sett definierades och studerades kvantmodellen Gaudin först, till skillnad från de flesta fysiska system. Vissa klassiska integrerbara fältteorier kan ses som klassiska dihedriska affina Gaudin-modeller. Därför kan förståelse av kvantaffina Gaudin-modeller möjliggöra förståelse av den integrerbara strukturen hos kvantintegrerbara fältteorier.

Sådana klassiska fältteorier inkluderar den huvudsakliga kirala modellen , coset sigma-modeller och affin Toda-fältteori .

externa länkar

• Gaudin integrerbar modell i nLab