Oper (matematik)

Inom matematiken är en oper en huvudkoppling , eller i mer elementära termer en typ av differentialoperator . De definierades och användes först av Vladimir Drinfeld och Vladimir Sokolov för att studera hur KdV-ekvationen och relaterade integrerbara PDE:er motsvarar algebraiska strukturer kända som Kac–Moody algebras . Deras moderna formulering beror på Drinfeld och Alexander Beilinson .

Historia

Oper definierades först, även om de inte namngavs, i ett ryskt dokument från 1981 av Drinfeld och Sokolov om ekvationer av Korteweg-de Vries-typ och enkla Lie-algebras . De generaliserades senare av Drinfeld och Beilinson 1993, och publicerades senare som e-print 2005.

Formulering

Abstrakt

Låt $G$ vara en sammankopplad reduktiv grupp över det komplexa planet $\mathbb {C}$ , med en distingerad Borel-undergrupp $B=B_{G}\subset G$ . Ställ in $N=[B,B]$ , så att $H=B/N$ är Cartan-gruppen .

Beteckna med ${\displaystyle {\mathfrak {n}}<{\mathfrak {b}}<{\mathfrak {g}}} och h =$ b ${\mathfrak {h}} ={\mathfrak {b}}/{\mathfrak {n}}}$ motsvarande Lie-algebror . Det finns en öppen $B$ -omlopp $\mathbf {O}$ bestående av vektorer stabiliserade av radikalen $N\subset B$ så att alla deras negativa enkelrotkomponenter är icke-noll.

Låt $X$ vara en jämn kurva.

En G-oper på $X$ är en trippel $({\mathfrak {F}},\nabla ,{\mathfrak {F}}_{B})$ där ${\mathfrak {F}}$ är ett huvudsakligt $G$ -paket, $\nabla$ är en koppling på ${\mathfrak {F}}$ och ${\mathfrak {F}}_{B}$ är en $B$ - reduktion av ${\displaystyle {\mathfrak {F}}} ,$ så att enformen $\nabla /{\mathfrak {F}}_{B}$ tar värden i $\mathbf {O} _{{\mathfrak {F}}_{B}}$ .

Exempel

Fixa $X=\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {CP} ^{1}$ Riemann- sfären . Arbeta på nivån för algebran, fixa ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ,$ vilket kan vara identifieras med utrymmet för spårlösa $2\ gånger 2$ komplexa matriser. Eftersom $\mathbb {P} ^{1}$ bara har en (komplex) dimension, har en enform bara en komponent, och så en ${\mathfrak { sl}}(2,\mathbb {C} )$ -värderad en form beskrivs lokalt av en matris av funktioner

A(z)={\begin{pmatrix}a(z)&b(z)\\c( z)&-a(z)\end{pmatrix}}

där

a,b,c

tillåts vara meromorfa funktioner.

Beteckna med ${\text{Conn}}_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^ {1})$ utrymmet för ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ värderade meromorfa funktioner tillsammans med en åtgärd av $g(z)$ , meromorfa funktioner värderade i den associerade Lie-gruppen $G=SL(2,\mathbb {C} )$ . Åtgärden är genom en formell mättransformation :

g(z)*A(z)=g(z)A(z)g(z)^{-1}-g'(z)g(z)^{-1}.

Sedan definieras oper i termer av ett delrum av dessa anslutningar. Beteckna med ${\text{op}}_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^ {1})$ utrymmet för anslutningar med $c(z)\equiv 1$ . Beteckna med $N$ undergruppen av meromorfa funktioner värderade i $SL(2,\mathbb {C} )$ av formen ${\begin{pmatrix}1&f(z)\\0&1\end{pmatrix}}$ med $f(z)$ meromorf.

Sedan för ${\displaystyle g(z)\in N,A(z)\in {\text{op} }_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\mathbb {P} ^{1}),} det gäller$ att $g(z)*A(z)\in {\text{op}}_{{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}(\ mathbb {P} ^{1})$ . Den definierar därför en handling. Banorna för denna handling kännetecknar konkret operer. Men i allmänhet gäller denna beskrivning endast lokalt och inte nödvändigtvis globalt.

Gaudin modell

Oper på $\mathbb {P} ^{1}$ har använts av Boris Feigin , Edward Frenkel och Nicolai Reshetikhin för att karakterisera Gaudin -modellens spektrum .

Specifikt, för en ${\mathfrak {g}}$ -Gaudin-modell och definierar $^{L}{\mathfrak {g}}$ som Langlands dubbla algebra, finns det en bijektion mellan spektrumet för Gaudin-algebra som genereras av operatorer definierade i Gaudin-modellen och en algebraisk variation av $^{L}{\mathfrak {g}}$ operer.