Snurra kedja

En spinnkedja är en typ av modell inom statistisk fysik. Spinnkedjor formulerades ursprungligen för att modellera magnetiska system, som vanligtvis består av partiklar med magnetiskt spinn placerade på fasta platser på ett gitter. Ett prototypiskt exempel är kvantmodellen Heisenberg . Interaktioner mellan platserna modelleras av operatörer som agerar på två olika platser.

De kan ses som en kvantversion av statistiska gittermodeller, såsom Ising-modellen .

Historia

Det mest framträdande exemplet på en spinnkedja är Heisenbergs spinnkedja, som beskrevs av Werner Heisenberg 1928. En enkel version av modellen löstes, det vill säga Hamiltonianens spektrum bestämdes, genom att Hans Bethe använde Bethe ansatz . Nu används termen Bethe ansatz allmänt för att hänvisa till många ansatzes som används för att lösa exakt lösbara problem i spinkedjeteorin.

Ett annat exempel på (en klass av) spinnkedjor är Gaudin-modellen , beskrev av Michel Gaudin 1976

Matematisk beskrivning

Gallret beskrivs av en graf $G$ med vertexuppsättning $V$ och kantmängd $E$ .

Modellen har en tillhörande Lie-algebra ${\mathfrak {sl}}_{2}:={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ . Mer allmänt kan denna Lie-algebra tas som vilken komplex, ändlig-dimensionell semi-enkel Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} som helst$ . Mer allmänt fortfarande kan det anses vara en godtycklig Lie-algebra.

Varje vertex $v\in V$ har en tillhörande representation av Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ , märkt $V_{v}$ . Detta är en kvantgeneralisering av statistiska gittermodeller , där varje vertex har en associerad "spinvariabel".

Hilbertrymden $H}}}$ { för hela systemet ses sedan som en tensorprodukt av representationsutrymmena vid varje vertex:

{\mathcal {H}}=\bigotimes _{v\in V}V_{v}.

En Hamiltonian är då en operatör på Hilbert-utrymmet. I teorin om spinnkedjor finns det möjligen många Hamiltonianer som pendlar ömsesidigt. Detta gör att operatörerna kan diagonaliseras samtidigt.

Det finns en föreställning om exakt lösbarhet för spinnkedjor, som ofta anges som bestämmande av modellens spektrum. I exakta termer betyder detta att man bestämmer de simultana egenvektorerna för Hilbert-utrymmet för Hamiltonianerna i systemet såväl som egenvärdena för varje egenvektor med avseende på varje Hamiltonian.

Exempel

Spin 1/2 XXX modell

Det prototypiska exemplet, och ett särskilt exempel på Heisenbergs spinnkedja, är känd som spin 1/2 Heisenberg XXX-modellen .

Grafen $G$ är det periodiska 1-dimensionella gittret med $N$ -platser. Detta ges uttryckligen av $V=\{1,\cdots ,N\}$ , och elementen i $E$ är $\{n,n+1\}$ med $N+1$ identifierad med $1$ .

Den associerade Lie-algebra är ${\mathfrak {sl}}_{2}$ .

På plats $n$ finns ett associerat Hilbert-utrymme $h_{n}$ som är isomorft till den tvådimensionella representationen av ${\mathfrak {sl}}_{2}$ (och därför ytterligare isomorf till $\mathbb {C} ^{2}$ ). Hilbert-utrymmet för systemkonfigurationer är ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}} ,$ av dimension $2^{N}$ .

Givet en operator $A$ på den tvådimensionella representationen $h$ av ${\mathfrak {sl}}_{2}$ , beteckna med $A^{(n)}$ operatorn på ${\mathcal {H}}$ som fungerar som $A$ på $h_{n}$ och som identitet på den andra $h_{m}$ med $m\neq n$ . Explicit kan det skrivas

A^{(n)}=1\otimes \cdots \otimes \underbrace {A} _{n}\otimes \cdots \otimes 1,

där 1:an anger identitet.

Hamiltonian är i huvudsak, upp till en affin transformation, $H=\sum _{n=1}^{N}\sigma _ {i}^{(n)}\sigma _{i}^{(n+1)}$ med implicit summering över index $i$ , och där $\sigma _{i}$ är Pauli-matriserna . Hamiltonian har ${\mathfrak {sl}}_{2}$ symmetri under verkan av de tre totala spinnoperatorerna $\sigma _ {i}=\summa _{n=1}^{N}\sigma _{i}^{(n)}$ .

Det centrala problemet är då att bestämma spektrumet (egenvärden och egenvektorer i ${\mathcal {H}}$ ) för Hamiltonian. Detta löses med metoden av en algebraisk Bethe-ansatz, upptäckt av Hans Bethe och ytterligare utforskad av Ludwig Faddeev .

Se även

externa länkar

Snurra kedja i nLab