Harish-Chandra isomorfism

Ej att förväxla med Harish-Chandra-homomorfism .

Inom matematiken är Harish -Chandra-isomorfismen , introducerad av Harish-Chandra ( 1951 ), en isomorfism av kommutativa ringar konstruerad i teorin om Lie-algebras . Isomorfismen kartlägger centrum ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ av den universella omslutande algebra $U({ \mathfrak {g}})$ av en reduktiv Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ till elementen $S({\mathfrak {h}})^{W}$ av den symmetriska algebra $S({\mathfrak {h}})$ av en kartansk subalgebra ${\mathfrak {h}}$ som är invarianta under Weyl-gruppen $W$ .

Introduktion och inställning

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en halvenkel Lie-algebra , ${\mathfrak {h}}$ dess Cartan-subalgebra och $\lambda ,\mu \ i {\mathfrak {h}}^{*}$ är två delar av viktutrymmet (där ${\mathfrak {h}}^{*}$ är dualen av ${\mathfrak {h}}$ ) och anta att en uppsättning positiva rötter $\Phi _{+}$ har fixerats. Låt $V_{\lambda }$ och $V_{\mu }$ vara högst viktmoduler med högst vikt $\lambda$ respektive $\mu$ .

Centrala karaktärer

g ${\mathfrak {g}}$ -modulerna $V_{\lambda }$ och $V_{\mu }$ representationer av den universella enveloping-algebran ${ \displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ och dess centrum verkar på modulerna genom skalär multiplikation (detta följer av det faktum att modulerna genereras av en vektor med högst vikt). Så, för $v\in V_{\lambda }$ och $x\in {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g }}))$ ,

$$x\cdot v:=\chi _{\lambda }(x)v$$

och på liknande sätt för $V_{\mu }$ , där funktionerna $\chi _{\lambda },\,\chi _{\mu }$ är homomorfismer från ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ till skalärer som kallas centrala tecken .

Uttalande av Harish-Chandra-satsen

För alla ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}} ,$ tecknen $\chi _{\lambda }=\ chi _{\mu }$ om och endast om $\lambda +\delta$ och $\mu +\delta$ är på samma bana av Weyl-gruppen i ${\ displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ , där $\delta$ är halvsumman av de positiva rötterna , ibland känd som Weyl-vektorn .

En annan närbesläktad formulering är att Harish-Chandras homomorfism från centrum av den universella omslutande algebra ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ till $S({\mathfrak {h}})^{W}$ (elementen i den symmetriska algebra i Cartan subalgebra fixerad av Weyl-gruppen) är en isomorfism .

Explicit isomorfism

Mer explicit kan isomorfismen konstrueras som sammansättningen av två kartor, en från ${\mathfrak {Z}}={\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ till $U({\mathfrak {h}})=S({\mathfrak {h}}),$ och en annan från $S({\mathfrak {h}})$ till sig själv.

Den första är en projektion $\gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ . För ett val av positiva rötter ${\displaystyle \Phi _{+}},$ definiera

$$n^{+}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{+}}{\mathfrak {g }}_{\alpha },n^{-}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{-}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$$

som motsvarande positiva nilpotenta subalgebra respektive negativa nilpotenta subalgebra, på grund av Poincaré-Birkhoff-Witt-satsen sker en nedbrytning

$$U({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}+{ \mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).$$

Om $z\in {\mathfrak {Z}}$ är central, så

$$z\in U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}\cap {\mathfrak {n}}^ {-}U({\mathfrak {g}})).$$

Begränsningen av projektionen $U({\mathfrak {g}})\rightarrow U({\mathfrak {h}})$ till mitten är ${\displaystyle \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})} ,$ och är en homomorfism av algebror. Detta är relaterat till de centrala karaktärerna av

$$\chi _{\lambda }(x)=\gamma (x)(\lambda )$$

Den andra kartan är vridkartan $\tau :S({\mathfrak {h}})\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ . På ${\mathfrak {h}}$ sett som ett delrum till $U({\mathfrak {h}})$ definieras det $\tau (h)=h-\delta (h)1$ med $\delta$ Weyl-vektorn.

Då ${\tilde {\gamma }}=\tau \circ \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h} })$ är isomorfismen. Anledningen till att denna twist introduceras är att $\chi _{\lambda }$ faktiskt inte är Weyl-invariant, men det kan bevisas att det tvinnade tecknet ${\ tilde {\chi }}_{\lambda }=\chi _{\lambda -\delta }$ är.

Ansökningar

Satsen har använts för att erhålla ett enkelt Lie algebraiskt bevis på Weyls teckenformel för ändliga dimensionella irreducerbara representationer. Beviset har ytterligare förenklats av Victor Kac , så att endast den kvadratiska Casimir-operatorn krävs; det finns ett motsvarande strömlinjeformat behandlingsbevis för karaktärsformeln i den andra upplagan av Humphreys (1978 , s. 143–144).

Vidare är det ett nödvändigt villkor för existensen av en icke-noll homomorfism av vissa högst viktmoduler (en homomorfism av sådana moduler bevarar central karaktär). En enkel konsekvens är att för Verma-moduler eller generaliserade Verma-moduler $V_{\lambda }$ med högst vikt $\lambda$ finns det bara ändligt många vikter $\mu$ för vilka en icke-noll homomorfism $V_{\lambda }\rightarrow V_{\mu }$ finns.

Fundamentala invarianter

För ${\mathfrak {g}}$ en enkel Lie-algebra, låt $r$ dess rang , det vill säga dimensionen av en kartansk subalgebra ${\mathfrak {h}}$ av ${\mathfrak {g}}$ . HSM Coxeter observerade att $S({\mathfrak {h}})^{W}$ är isomorf till en polynomalgebra i $r$ variabler (se Chevalley–Shephard–Todds sats för ett mer allmänt uttalande). Därför är mitten av den universella omslutande algebra i en enkel Lie-algebra isomorft till en polynomalgebra. Graderna för algebrans generatorer är graderna för de fundamentala invarianterna som anges i följande tabell.

Lögnalgebra	Coxeter nummer h	Dubbelt Coxeter-nummer	Grader av fundamentala invarianter
R	0	0	1
A n	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	2 n	2 n − 1	2, 4, 6, ..., 2 n
C n	2 n	n + 1	2, 4, 6, ..., 2 n
D n	2 n − 2	2 n − 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 n − 2
E 6	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F 4	12	9	2, 6, 8, 12
G 2	6	4	2, 6

Exempel

• Om ${\mathfrak {g}}$ är Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )} ,$ då är mitten av universal enveloping algebra genereras av Casimir-invarianten av grad 2, och Weyl-gruppen verkar på Cartan-subalgebra, som är isomorf till ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ genom negation, så invarianten av Weyl-gruppen är kvadraten av generatorn av Cartan subalgebra, som också är av grad 2.
• För ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{2}={\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )} ,$ Harish- Chandra isomorphism säger ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ är isomorf till en polynomalgebra av Weyl-invarianta polynom i två variabler $h_{1},h_{2}$ (eftersom Cartan-subalgebra är tvådimensionell). För $A_{2}$ är Weyl-gruppen $S_{3}\cong D_{6}$ som verkar på CSA i standardrepresentationen. Eftersom Weyl-gruppen verkar genom reflektioner är de isometrier och så grad 2-polynomet $f_{2}(h_{1},h_{2 })=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}$ är Weyl-invariant. Konturerna av det grad 3 Weyl-invarianta polynomet (för ett särskilt val av standardrepresentation där en av reflektionerna är tvärs över x-axeln) visas nedan. Dessa två polynom genererar polynomalgebra och är de fundamentala invarianterna för $A_{2}$ .

• För alla Lie-algebror i klassificeringen finns det en fundamental invariant av grad 2, den kvadratiska Casimir . I isomorfismen motsvarar dessa ett grad 2 polynom på CSA. Eftersom Weyl-gruppen verkar genom reflektioner på CSA, är de isometrier, så grad 2-invariant polynom är $f_{2}(\mathbf {h} )=h_{1}^{2}+\cdots +h_{r}^{2}$ där $r$ är dimensionen för CSA ${\mathfrak {h}}$ , även känd som rangen av Lie-algebra.

• För ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{1}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} ,$ den kartanska subalgebra är endimensionell, och Harish-Chandras isomorfism säger att ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ är isomorf till Weyl- algebra invarianta polynom i en enda variabel $h$ . Weyl-gruppen är $S_{2}$ som fungerar som reflektion, med icke-triviala element som verkar på polynom med $h\mapsto -h$ . Subalgebra för Weyl-invarianta polynom i den fullständiga polynomalgebra $K[h]$ är därför endast de jämna polynomen, genererade av $f_{2}(h )=h^{2}$ .

Weyl-invariant kubik för A ₂ , motsvarande grad 3 fundamental invariant

• För ${\mathfrak {g}}=B_{2}={\mathfrak {so}}(5)={\mathfrak {sp} }(4)$ , Weyl-gruppen är $D_{8}$ , som verkar på två koordinater $h_{1},h_{2}$ , och genereras (icke- minimalt) av fyra reflektioner, som verkar på koordinater som $(h_{1}\mapsto -h_{1},h_{2}\mapsto h_{2}),(h_{ 1}\mapsto h_{1},h_{2}\mapsto -h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{2},h_{2}\mapsto h_{1}),(h_{1 }\mapsto -h_{2},h_{2}\mapsto h_{1})$ . Varje invariant kvartik måste vara jämn i både $h_{1}$ och $h_{2}$ , och invarians under utbyte av koordinater betyder att varje invariant kvartik kan skrivas $f_{4}(h_{1},h_{2})=ah_{1}^{4}+bh_{1}^{2}h_{2}^{2}+ah_{2}^ {4}.$ Trots att detta är ett tvådimensionellt vektorrum, bidrar detta bara med en ny fundamental invariant som $f_{2}(h_{1},h_{2} )^{2}$ ligger i utrymmet. I det här fallet finns det inget unikt val av kvartsinvariant eftersom vilket polynom som helst med $b\neq 2a$ (och $a,b$ inte båda noll) räcker.

Generalisering för att affinera Lie-algebror

Ovanstående resultat gäller för reduktiva , och i synnerhet semisimpla Lie-algebror . Det finns en generalisering för att affinera Lie-algebra som visas av Feigin och Frenkel , vilket visar att en algebra känd som Feigin-Frenkel-centrum är isomorf till en W-algebra associerad med Langlands dubbla Lie-algebra $^{L}{\mathfrak {g}}$ .

Feigin–Frenkel-centrum för en affin Lie-algebra ${\hat {\mathfrak {g}}}$ är inte exakt centrum för den universella omslutande algebra ${\ mathcal {Z}}(U({\hat {\mathfrak {g}}}))$ . De är element $S$ i vakuumaffina vertexalgebra på kritisk nivå $k=-h^{\vee }$ , där $h^{\vee }$ är det dubbla Coxeter-talet för ${\mathfrak {g}}$ som förintas av den positiva loopalgebra ${\mathfrak {g}}[t]$ delen av ${\ displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ , det vill säga,

$${\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}}):=\{S\in V_{\text{cri}}({\mathfrak { g}})|{\mathfrak {g}}[t]S=0\}$$

där $V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})$ är den affina vertexalgebra på den kritiska nivån. Delar av detta centrum är också kända som singulära vektorer eller Segal–Sugawara vektorer .

Isomorfismen i detta fall är en isomorfism mellan Feigin-Frenkel-centret och W-algebra konstruerad associerad med Langlands dubbla Lie-algebra av Drinfeld-Sokolov-reduktion :

$${\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})\cong {\mathcal {W}}(^{L}{\mathfrak {g}}).$$

Det finns också en beskrivning av ${\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})$ som en polynomalgebra i ett ändligt antal oräkneligt oändliga familjer av generatorer, $\partial ^{n}S_{i},i=1,\cdots ,l,n\geq 0$$S_{i},i=1,\cdots ,l$ där har grader $d_{i}+1,i=1, \cdots ,l$ och $\partial$ är (negativ till) den naturliga derivatoperatorn på loopalgebra.

Se även

• Översättningsfunktionär
• Oändligt liten karaktär

Externa resurser

Anteckningar om Harish-Chandra-isomorfismen

•    Harish-Chandra (1951), "On some applications of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra", Transactions of the American Mathematical Society , 70 ( 1): 28–96, doi : 10.2307/1990524 , JSTOR 199055004 , 5MR 5004 , 5MR 500
•    Humphreys, James E. (1978). Introduktion till Lie algebror och representationsteori . Examentexter i matematik. Vol. 9 (Andra reviderade upplagan). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90053-5 . MR 0499562 . (Innehåller ett förbättrat bevis på Weyls karaktärsformel.)
•   Humphreys, James E. (2008), Representationer av semisimple Lie-algebror i BGG-kategorin O , AMS, sid. 26, ISBN 978-0-8218-4678-0
•    Knapp, Anthony W.; Vogan, David A. (1995), Cohomological induction and unitary representations , Princeton Mathematical Series, vol. 45, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-03756-1 , MR 1330919
•   Knapp, Anthony W. (2013) [1996], "V. Finite Dimensional Representations §5. Harish-Chandra Isomorphism" , Lie Groups Beyond an Introduction , Progress in Mathematics, vol. 140, Springer, s. 246–258, ISBN 978-1-4757-2453-0