Automorfism av en Lie-algebra

I abstrakt algebra är en automorfism av en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ en isomorfism från ${\mathfrak {g}}$ till sig själv, det vill säga en linjär karta som bevarar lögnen konsol. Uppsättningen av automorfismer för ${\mathfrak {g}}$ betecknas ${\text{Aut}}({\mathfrak {g}})$ , automorfismgruppen för ${\mathfrak {g}}$ .

Inre och yttre automorfismer

Undergruppen av $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$ genererad med hjälp av den adjoint åtgärden $e^{\operatorname { ad} (x)},x\in {\mathfrak {g}}$ kallas den inre automorfismgruppen av ${\mathfrak {g}}$ . Gruppen betecknas $\operatorname {Aut} ^{0}({\mathfrak {g}})$ . Dessa bildar en normal undergrupp i gruppen av automorfismer, och kvoten $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})/\operatorname {Aut} ^{ 0}({\mathfrak {g}})$ är känd som den yttre automorfismgruppen .

Diagram automorfismer

Det är känt att den yttre automorfigruppen för en enkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är isomorf till gruppen av diagramautomorfismer för motsvarande Dynkin-diagram i klassificeringen av Lie-algebra. De enda algebrorna med icke-trivial yttre automorfismgrupp är därför $A_{n}(n\geq 2),D_{n}$ och $E_{6 }$ .

${\mathfrak {g}}$	Yttre automorfismgrupp
$A_{n},n\geq 2$	$\mathbb {Z} _{2}$
$D_{n},n\neq 4$	$\mathbb {Z} _{2}$
$D_{4}$	$S_{3}$
$E_{6}$	$\mathbb {Z} _{2}$

Det finns sätt att konkret realisera dessa automorfismer i matrisrepresentationerna av dessa grupper. För ${\displaystyle A_{n}={\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )} ,$ kan automorfismen realiseras som den negativa transponeringen . För $D_{n}={\mathfrak {so}}(2n)$ erhålls automorfismen genom att konjugera med en ortogonal matris i $O (2n)$ med determinant -1.

Avledningar

En härledning på en Lie-algebra är en linjär karta

\delta :{\mathfrak {g}}\högerpil {\mathfrak {g}}

uppfyller Leibniz-regeln

\delta [X,Y]=[\delta X,Y]+[X,\delta Y].

Mängden avledningar på en Lie-algebra

{\mathfrak {g}}

betecknas

{\displaystyle \operatorname {der} ({\mathfrak {g}})} ,

och är en subalgebra av endomorfismerna på

{\mathfrak {g}}

, det vill säga

\operatorname {der} ({\mathfrak {g}})<\operatörsnamn {Slut} ({\mathfrak {g}})

. De ärver en Lie-algebra-struktur från Lie-algebra-strukturen på endomorfism-algebra, och stängningen av parentesen följer av Leibniz-regeln.

På grund av Jacobi-identiteten kan det visas att bilden av den adjoint representationsannonsen $\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} ( {\mathfrak {g}})}$ ligger i $\operatorname {der} ({\mathfrak {g}})$ .

Genom Lie-gruppen-Lie-algebra-överensstämmelsen motsvarar Lie-gruppen av automorfismer $\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$ Lie-algebra av härledningar $\operatorname {der} ({\mathfrak {g}})$ .

För ${\mathfrak {g}}$ finita är alla härledningar inre.

Exempel

För varje $g$ i en Lie-grupp $G$ , låt $\operatorname {Ad} _{g}$ beteckna differentialen vid identiteten för konjugationen med $g$ . Då $\operatorname {Ad} _{g}$ en automorfism av ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ , adjointen åtgärd av $g$ .

Satser

Borel–Morozovs sats säger att varje lösbar subalgebra av en komplex semisenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ kan mappas till en subalgebra av en Cartan-subalgebra ${\mathfrak {h}}$ av ${\mathfrak {g}}$ av en inre automorfism av ${\mathfrak {g}}$ . I synnerhet står det att ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\ alpha }=:{\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}^{+}} , där$ g $\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ är rotutrymmen, är en maximalt lösbar subalgebra (det vill säga en Borel-subalgebra ).

E. Cartan, Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semi-simples. Tjur. Sc. matematik. 49, 1925, s. 361–374.
Humphreys, James (1972). Introduktion till Liealgebror och representationsteori . Springer. ISBN 0387900535 .
Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-enkla komplex [ Complex Semisimple Lie Algebras ], översatt av Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .