Ortocentrisk tetraeder

Inom geometrin är en ortocentrisk tetraeder en tetraeder där alla tre paren av motsatta kanter är vinkelräta . Det är också känt som en ortogonal tetraeder eftersom ortogonal betyder vinkelrät. Den studerades först av Simon Lhuilier 1782 och fick namnet ortocentrisk tetraeder av G. de Longchamps 1890.

I en ortocentrisk tetraeder är de fyra höjderna samtidiga . Denna gemensamma punkt kallas ortocentrum , och den har egenskapen att den är den symmetriska punkten för mitten av den omskrivna sfären med avseende på tyngdpunkten . Därför sammanfaller ortocentret med tetraederns Monge-punkt .

Karakteriseringar

Alla tetraedrar kan vara inskrivna i en parallellepiped . En tetraeder är ortocentrisk om och endast om dess omskrivna parallellepiped är en rhombohedron . Faktum är att i vilken tetraeder som helst är ett par motsatta kanter vinkelräta om och endast om motsvarande ytor av den omskrivna parallellepipeden är rombi. Om fyra ytor av en parallellepiped är rombi, så har alla kanter lika långa och alla sex ytor är rombi; det följer att om två par av motsatta kanter i en tetraeder är vinkelräta, så är det det tredje paret också, och tetraedern är ortocentrisk.

En tetraeder $ABCD$ är ortocentrisk om och endast om summan av kvadraterna av motsatta kanter är densamma för de tre paren av motsatta kanter:

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2} ={\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}.

Faktum är att det räcker med endast två par motsatta kanter för att uppfylla detta villkor för att tetraedern ska vara ortocentrisk.

Ett annat nödvändigt och tillräckligt villkor för att en tetraeder ska vara ortocentrisk är att dess tre bimedianer är lika långa.

Volym

Karakteriseringen av kanterna innebär att om endast fyra av de sex kanterna på en ortocentrisk tetraeder är kända, kan de återstående två beräknas så länge de inte är motsatta varandra. Därför volymen av en ortocentrisk tetraeder uttryckas i termer av fyra kanter a , b , c , d . Formeln är

V={\frac {1}{6}} {\sqrt {4(c^{2}+d^{2})s(sa)(sb)(sc)-a^{2}b^{2}c^{2}}}

där c och d är motsatta kanter, och $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ .

Se även