Trerektangulär tetraeder

En trerektangulär tetraeder kan konstrueras av en koordinatoktant och ett plan som korsar alla 3 axlarna bort från origo, som: x>0 y>0 z>0 och x/a+y/b+z/c<1

Inom geometrin är en trerektangulär tetraeder en tetraeder där alla tre ytvinklarna vid en vertex är räta vinklar . Den vertex kallas den räta vinkeln på den trerektangulära tetraedern och ytan mittemot den kallas basen . De tre kanterna som möts i rät vinkel kallas benen och vinkelrät från rät vinkel mot basen kallas tetraederns höjd .

Endast den förgrenade grafen för $B_{3}$ affina Coxeter-gruppen har en trirektangulär tetraeder-fundamental domän.

Metriska formler

Om benen har längderna a, b, c , så har den trerektangulära tetraedern volymen

V={\frac {abc}{6}}.

Den höjd h tillfredsställer

{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\ frac {1}{c^{2}}}.

Arean $T_{0}$ för basen ges av

T_{0}={\frac {abc}{2h}}.

De Guas teorem

Om arean av basen är $T_{0}$ och områdena för de tre andra (rätvinkliga) ytorna är $T_{1}$ , $T_{2}$ och $T_{3}$ , sedan

T_{0}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+T_{3}^{2}.

Detta är en generalisering av Pythagoras sats till en tetraeder.

Heltalslösning

Perfekt kropp

Trerektangulär bipyramid med kanter (240, 117, 44, 125, 244, 267, 44, 117, 240)

Arean av basen (a,b,c) är alltid (Gua) ett irrationellt tal. Således är en trerektangulär tetraeder med heltalskanter aldrig en perfekt kropp. Den trerektangulära bipyramiden (6 ytor, 9 kanter, 5 hörn) byggd av dessa trerektangulära tetraedrar och de relaterade vänsterhänta anslutna på sina baser har rationella kanter, ytor och volym, men den inre rymddiagonalen mellan de två trerektangulära hörnen är fortfarande irrationell. Den senare är det dubbla av höjden för den trerektangulära tetraedern och en rationell del av den (bevisade) irrationella rymddiagonalen för den relaterade Euler-tegelstenen (bc, ca, ab).

Heltalskanter

Trerektangulära tetraedrar med heltalsben $a,b,c$ och sidor $d={ \sqrt {b^{2}+c^{2}}},e={\sqrt {a^{2}+c^{2}}},f={\sqrt {a^{2}+b ^{2}}}$ i bastriangeln finns, t.ex. $a=240,b=117,c= 44,d=125,e=244,f=267$ (upptäckt 1719 av Halcke). Här är några fler exempel med heltalsben och sidor.

abcdef

 240 117 44 125 244 267 275 252 240 348 365 373 480 234 88 250 488 534 550 504 480 696 730 3 4 4 3 7 4 4 6 720 351 132 375 732 801 720 132 85 157 725 732 792 231 160 281 808 825 825 756 720 1044 1095 1119 960 468 176 500 976 1068 1100 1008 960 1392 1460 1492 1155 1100 1008 5 332 5 321 8 25 1220 1335 1375 1260 1200 1740 1825 1865 1386 960 280 1000 1414 1686 1440 702 264 750 1464 1464 410 410 314 1450 1464

Lägg märke till att några av dessa är multiplar av mindre. Observera även A031173 .

Heltalsansikten

Trerektangulära tetraedrar med heltalsytor $T_{c},T_{a},T_{b},T_{0}$ höjd h existerar, t.ex. $196,T_{b}=294,T_{0}=686,h=12}$ $=14,T_{c}=588, T_{a}$ $a=156,b=80,c=65,T_{c}=6240,T_{a}=2600,T_{b}=5070,T_{0 }=8450,h=48$ utan eller med coprime $a,b,c$ .

Se även

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Trirektangulär tetraeder" . MathWorld .