Alexandrovs unikhetsteorem
Alexandrovs unika teorem är en stelhet i matematik som beskriver tredimensionella konvexa polyedrar i termer av avstånden mellan punkter på deras ytor. Det innebär att konvexa polyedrar med distinkta former från varandra också har distinkta metriska utrymmen med ytavstånd, och det kännetecknar de metriska utrymmen som kommer från ytavstånden på polyedrar. Den är uppkallad efter den sovjetiske matematikern Aleksandr Danilovich Aleksandrov , som publicerade den på 1940-talet.
Uttalande av satsen
Ytan på någon konvex polyeder i det euklidiska utrymmet bildar ett metriskt utrymme , där avståndet mellan två punkter mäts av längden på den kortaste vägen från en punkt till den andra längs ytan. Inom en enda kortaste väg är avstånden mellan par av punkter lika med avstånden mellan motsvarande punkter i ett linjesegment av samma längd; en väg med den här egenskapen är känd som en geodetisk . Denna egenskap hos polyedriska ytor, att varje par av punkter är förbundna med en geodetisk, är inte sant för många andra metriska utrymmen, och när det är sant kallas utrymmet ett geodetiskt utrymme. Det geodetiska utrymmet som bildas från ytan av en polyeder kallas dess utveckling .
Polyedern kan ses som vikt från ett pappersark (ett nät för polyedern) och den ärver samma geometri som papperet: för varje punkt p inom en yta av polyedern kommer en tillräckligt liten öppen grannskap av p att har samma avstånd som en delmängd av det euklidiska planet . Samma sak gäller även för punkter på kanterna av polyedern: de kan modelleras lokalt som ett euklidiskt plan vikt längs en linje och inbäddat i tredimensionellt utrymme, men vecket ändrar inte strukturen på de kortaste vägarna längs ytan . Emellertid har polyederns hörn en annan avståndsstruktur: den lokala geometrin för en polyedertopp är densamma som den lokala geometrin vid spetsen av en kon . Vilken kon som helst kan formas av ett platt pappersark med en kil borttagen från den genom att limma ihop de skurna kanterna där kilen togs bort. Vinkeln på kilen som togs bort kallas vinkeldefekten hos vertexet; det är ett positivt tal mindre än 2 π . Defekten hos ett polyedertex kan mätas genom att subtrahera ytvinklarna vid denna vertex från 2 π . Till exempel, i en vanlig tetraeder är varje ytvinkel π /3, och det finns tre av dem vid varje vertex, så att subtrahera dem från 2 π lämnar en defekt på π vid var och en av de fyra hörnen. På liknande sätt har en kub en defekt på π /2 vid var och en av sina åtta hörn. Descartes sats om total vinkeldefekt (en form av Gauss–Bonnet-satsen ) säger att summan av vinkeldefekterna för alla hörn alltid är exakt 4 π . Sammanfattningsvis är utvecklingen av en konvex polyeder geodetisk, homeomorf (topologiskt ekvivalent) med en sfär och lokalt euklidisk förutom ett ändligt antal konpunkter vars vinkeldefekt summerar till 4 π .
Alexandrovs teorem ger en motsats till denna beskrivning. Den anger att om ett metriskt utrymme är geodetiskt, homeomorft till en sfär och lokalt euklidiskt med undantag för ett ändligt antal konpunkter med positiv vinkeldefekt (nödvändigtvis summerande till 4 π ), så finns det en konvex polyeder vars utveckling är det givna utrymmet . Dessutom är denna polyeder unikt definierad från metriken: två konvexa polyedrar med samma ytmetriska måste vara kongruenta med varandra som tredimensionella uppsättningar.
Begränsningar
Polyedern som representerar det givna metriska utrymmet kan vara degenererat : det kan bilda en dubbeltäckt tvådimensionell konvex polygon (en dihedron ) snarare än en helt tredimensionell polyeder. I det här fallet består dess ytmetriska av två kopior av polygonen (dess två sidor) limmade ihop längs motsvarande kanter.
Även om Alexandrovs teorem säger att det finns en unik konvex polyeder vars yta har en given metrik, kan det också vara möjligt att det finns icke-konvexa polyeder med samma metrik. Ett exempel ges av den vanliga ikosaedern : om fem av dess trianglar tas bort och ersätts av fem kongruenta trianglar som bildar en fördjupning i polyedern, förblir den resulterande ytmetriken oförändrad.
Utvecklingen av vilken polyeder som helst kan beskrivas konkret genom en samling tvådimensionella polygoner tillsammans med instruktioner för att limma ihop dem längs deras kanter för att bilda ett metriskt utrymme, och villkoren för Alexandrovs sats för utrymmen som beskrivs på detta sätt kontrolleras lätt. Däremot kan kanterna där två polygoner limmas ihop bli plana och ligga i det inre av ytorna på den resulterande polyedern, snarare än att bli polyederkanter. (För ett exempel på detta fenomen, se illustrationen av fyra hexagoner limmade för att bilda en oktaeder.) Därför, även när utvecklingen beskrivs på detta sätt, kanske det inte är klart vilken form den resulterande polyedern har, vilka former dess ansikten har , eller till och med hur många ansikten den har. Alexandrovs ursprungliga bevis leder inte till en algoritm för att konstruera polyedern (till exempel genom att ge koordinater för dess hörn) för att realisera det givna metriska rummet. 2008 tillhandahöll Bobenko och Izmestiev en sådan algoritm. Deras algoritm kan approximera koordinaterna godtyckligt noggrant, i pseudopolynomisk tid .
Relaterade resultat
En av de första existens- och unikhetssatserna för konvexa polyedrar är Cauchys sats , som säger att en konvex polyeder bestäms unikt av formen och anslutningen av dess ansikten. Alexandrovs teorem stärker detta och visar att även om ansiktena tillåts böjas eller vikas, utan att sträcka sig eller krympa, så bestämmer deras anslutning fortfarande polyederns form. I sin tur använder Alexandrovs bevis på existensen del av hans sats en förstärkning av Cauchys sats av Max Dehn till oändlig stelhet .
Ett analogt resultat som Alexandrovs gäller för släta konvexa ytor: ett tvådimensionellt Riemann-grenrör vars Gaussiska krökning överallt är positiv och totalt 4 π kan representeras unikt som ytan på en slät konvex kropp i tre dimensioner. Det unika med denna framställning är ett resultat av Stephan Cohn-Vossen från 1927, med vissa regelbundenhetsförhållanden på ytan som togs bort i senare forskning. Dess existens bevisades av Alexandrov, med hjälp av ett argument som involverade gränser för polyedrisk metrik. Aleksei Pogorelov generaliserade båda dessa resultat och karakteriserade utvecklingen av godtyckliga konvexa kroppar i tre dimensioner.
Ett annat resultat av Pogorelov på de geodetiska metriska utrymmena härledda från konvexa polyedrar är en version av satsen för de tre geodetikerna : varje konvex polyeder har minst tre enkla slutna kvasigeodesics. Dessa är kurvor som är lokalt raka linjer utom när de passerar genom en vertex, där de måste ha vinklar som är mindre än π på båda sidor om dem.
Utvecklingen av ideala hyperboliska polyedrar kan karakteriseras på ett liknande sätt som euklidiska konvexa polyedrar: varje tvådimensionell grenrör med enhetlig hyperbolisk geometri och ändlig area, kombinatoriskt ekvivalent med en ändligt punkterad sfär, kan realiseras som ytan av en ideal polyeder .