Conway Group Co 2

För allmän bakgrund och historia av de sporadiska Conway-grupperna, se Conway-gruppen .

Inom området för modern algebra känd som gruppteori är Conwaygruppen Co ₂ en sporadisk enkel ordningsgrupp

    2 ¹⁸ · 3 ⁶ · 5 ³ · 7 · 11 · 23

= 42305421312000

≈ 4 × 10 ¹³ .

Historia och fastigheter

 ₀ Co ₂ är en av de 26 sporadiska grupperna och upptäcktes av ( Conway 1968 , 1969 ) som gruppen av automorfismer av Leech-gittret Λ som fixerar en gittervektor av typ 2 . Det är alltså en undergrupp av Co. ₀ Det är isomorft till en undergrupp av Co ₁ . Den direkta produkten 2×Co ₂ är maximal i Co .

Schur -multiplikatorn och den yttre automorfismgruppen är båda triviala .

Framställningar

Co ₂ fungerar som en rang 3 permutationsgrupp på 2300 poäng. Dessa punkter kan identifieras med plana hexagoner i Leech gittret med 6 typ 2 hörn.

Co ₂ verkar på det 23-dimensionella jämna integralgittret utan rötter av determinant 4, givet som ett subgitter av Leech-gittret ortogonalt mot en norm 4-vektor. Över fältet med 2 element har den en 22-dimensionell trogen representation; detta är den minsta trogna representationen över något område.

Feit (1974) visade att om en finit grupp har en absolut irreducerbar trogen rationell representation av dimension 23 och inte har några undergrupper av index 23 eller 24 så ingår den i antingen Z /2 Z × Co ₂ eller Z /2 Z × Co ₃ .

Mathieu -gruppen M ₂₃ är isomorf till en maximal undergrupp av Co ₂ och en representation, i permutationsmatriser, fixerar typ 2-vektorn u = (-3,1 ²³ ). En blocksumma ζ av involutionen η =

${\mathbf {1} /2}\left({\ start{matrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{matrix}}\right)$

₀ och 5 kopior av -η fixar också samma vektor. Därför har Co _{2 en} bekväm matrisrepresentation inuti standardrepresentationen av Co. Spåret för ζ är -8, medan involutionerna i M ₂₃ har spår 8.

En 24-dimensionell blocksumma av η och -η finns i Co ₀ om och endast om antalet kopior av η är udda.

En annan representation fixar vektorn v = (4,-4,0 ²² ). En monomial och maximal undergrupp inkluderar en representation av M22 _: 2, där varje a som växlar de första 2 koordinaterna återställer v genom att sedan negera vektorn. Också inkluderade är diagonala involutioner som motsvarar oktader (spår 8), 16-uppsättningar (spår -8) och dodekader (spår 0). Det kan visas att Co ₂ bara har 3 konjugationsklasser av involutioner. η lämnar (4,-4,0,0) oförändrade; blocksumman ζ tillhandahåller en icke-monomial generator som fullbordar denna representation av Co ₂ .

₀ Det finns ett alternativt sätt att konstruera stabilisatorn för v . Nu u och u + v = (1,-3,1 ²² ) hörn i en 2-2-2 triangel (se nedan). Då u , u + v , v och deras negativ en coplanar hexagon fixerad med ζ och M ₂₂ ; dessa genererar en grupp Fi ₂₁ ≈ U ₆ (2). a (se ovan) utökar detta till Fi21 _: 2, vilket är maximalt i _Co2 . Slutligen är Co transitiv på typ 2-punkter, så att en 23-cykelfixering u har en konjugatfixering v , och genereringen är klar.

Maximala undergrupper

Vissa maximala undergrupper fixerar eller reflekterar 2-dimensionella subgitter av Leech-gittret. Det är vanligt att definiera dessa plan med hkl-trianglar : trianglar inklusive origo som en vertex, där kanter (skillnader mellan hörn) är vektorer av typerna h, k och l.

Wilson (2009) fann de 11 konjugationsklasserna av maximala undergrupper av Co ₂ enligt följande:

• Fi ₂₁ :2 ≈ U ₆ (2):2 - symmetri-/reflektionsgrupp av coplanar hexagon med 6 typ 2-punkter. Fixar en hexagon i en rang 3-permutationsrepresentation av Co ₂ på 2300 sådana hexagoner. Under denna undergrupp är hexagonerna uppdelade i banor av 1, 891 och 1408. Fi ₂₁ fixerar en 2-2-2 triangel som definierar planet.
• 2 ¹⁰ : M ₂₂ : 2 har monomial representation beskriven ovan; 2 ¹⁰ : M ₂₂ fixar en 2-2-4 triangel.
• McL fixar en 2-2-3 triangel.
• 2 ¹⁺⁸ :Sp ₆ (2) - centraliserare av involutionsklass 2A (spår -8)
• HS :2 fixerar en 2-3-3 triangel eller byter ut dess typ 3 hörn med teckenbyte.
• (2 ⁴ × 2 ¹⁺⁶ ).A ₈
• U ₄ (3):D ₈
• 2 ⁴⁺¹⁰ .(S ₅ × S ₃ )
• M ₂₃ fixar en 2-3-4 triangel.
• 3 ¹⁺⁴ .2 ¹⁺⁴ .S ₅
• 5 ¹⁺² :4S ₄

Konjugationskurser

Spår av matriser i en standard 24-dimensionell representation av Co ₂ visas. Namnen på konjugationsklasser är hämtade från Atlas of Finite Group Representations.

Centraliserare med okänd struktur indikeras med parenteser.

Klass	Beställning av centraliserare	Centraliserare	Klassens storlek	Spår
1A		alla Co 2	1	24
2A	743,178,240	2 1+8 :Sp 6 (2)	3 2 ·5 2 ·11·23	-8
2B	41,287,680	2 1+4 :2 4 .A 8	2·3 4 ·5 2 11·23	8
2C	1,474,560	2 10 .A 6 .2 2	2 3 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23	0
3A	466,560	3 1+4 2 1+4 A 5	2 11 ·5 2 ·7·11·23	-3
3B	155 520	3×U 4 (2).2	2 11 ·3·5 2 ·7·11·23	6
4A	3,096,576	4,2 6 .U 3 (3).2	2 4 ·3 3 ·5 3 ·11·23	8
4B	122 880	[2 10 ]S 5	2 5 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	-4
4C	73,728	[2 13 .3 2 ]	2 5 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	4
4D	49,152	[2 14 .3]	2 4 ·3 5 · 5 3 ·7·11·23	0
4E	6,144	[2 11 .3]	2 7 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	4
4F	6,144	[2 11 .3]	2 7 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	0
4G	1 280	[2 8 .5]	2 10 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	0
5A	3 000	5 1+2 2A 4	2 15 ·3 5 ·7·11·23	-1
5B	600	5×S 5	2 15 ·3 5 ·5·7·11·23	4
6A	5,760	3,2 1+4 A5	2 11 ·3 4 ·5 2 ·7·11·23	5
6B	5,184	[2 6 .3 4 ]	2 12 ·3 2 ·5 3 ·7·11·23	1
6C	4 320	6×S 6	2 13 ·3 3 ·5 2 ·7·11·23	4
6D	3,456	[2 7 .3 3 ]	2 11 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23	-2
6E	576	[2 6 .3 2 ]	2 12 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	2
6F	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	0
7A	56	7×D 8	2 15 ·3 6 ·5 3 ·11·233	3
8A	768	[2 8 .3]	2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	0
8B	768	[2 8 .3]	2 10 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	-2
8C	512	[2 9 ]	2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	4
8D	512	[2 9 ]	2 9 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	0
8E	256	[2 8 ]	2 10 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	2
8F	64	[2 6 ]	2 12 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	2
9A	54	9×S 3	2 17 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23	3
10A	120	5×2.A 4	2 15 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	3
10B	60	10×S 3	2 16 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	2
10C	40	5×D 8	2 15 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	0
11A	11	11	2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·23	2
12A	864	[2 5 .3 3 ]	2 13 ·3 3 ·5 3 ·7·11·23	-1
12B	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	1
12C	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	2
12D	288	[2 5 .3 2 ]	2 13 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	-2
12E	96	[2 5 .3]	2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	3
12F	96	[2 5 .3]	2 13 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	2
12G	48	[2 4 .3]	2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	1
12H	48	[2 4 .3]	2 14 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	0
14A	56	5×D 8	2 15 ·3 6 ·5 3 ·11·23	-1
14B	28	14×2	2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23	1	effektekvivalent
14C	28	14×2	2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23	1
15A	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	1
15B	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	2	effektekvivalent
15C	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	2
16A	32	16×2	2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	2
16B	32	16×2	2 13 ·3 6 ·5 3 ·7·11·23	0
18A	18	18	2 17 ·3 4 ·5 3 ·7·11·23	1
20A	20	20	2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	1
20B	20	20	2 16 ·3 6 ·5 2 ·7·11·23	0
23A	23	23	2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11	1	effektekvivalent
23B	23	23	2 18 ·3 6 ·5 3 ·7·11	1
24A	24	24	2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	0
24B	24	24	2 15 ·3 5 ·5 3 ·7·11·23	1
28A	28	28	2 16 ·3 6 ·5 3 ·11·23	1
30A	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	-1
30B	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	0
30C	30	30	2 17 ·3 5 ·5 2 ·7·11·23	0

•     Conway, John Horton (1968), "A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 61 ( 2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS. .61..398C , doi : 10.1073/pnas.61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
•    Conway, John Horton (1969), "A group of order 8 315 553 613 086 720 000", The Bulletin of the London Mathematical Society , 1 : 79–88, doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 6902 , ISSN 6902 , ISSN 6902
•    Conway, John Horton (1971), "Three lectures on exceptional groups", i Powell, MB; Higman, Graham (red.), Finite simple groups , Proceedings of an Instructional Conference organiserad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969., Boston, MA: Academic Press , s. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Reprinted in Conway & Sloane (1999 , 267–298)
•    Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Sphere Packings, Lattices and Groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , MR 0920369
•    Feit, Walter (1974), "On integral representations of finite groups", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 29 (4): 633–683, doi : 10.1112/plms/s3-29.4.633 , ISSN 0024- 6115 , MR 0374248
•    Thompson, Thomas M. (1983), Från felkorrigerande koder genom sfärförpackningar till enkla grupper , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-023-7 , MR 0749038
•    Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas of finite groups , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , MR 0827219
•    Griess, Robert L. Jr. (1998), Twelve sporadic groups , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540- 62778-4 , MR 1707296
•    Wilson, Robert A. (1983), "The maximum subgroups of Conway's group ·2", Journal of Algebra , 84 (1): 107–114, doi : 10.1016/0021-8693(83)90069-8 , ISSN 0021- 8693 , MR 0716772
•    Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups. , Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012

Specifik

externa länkar

• MathWorld: Conway-grupper
• Atlas of Finite Group Representations: Co ₂ version 2
• Atlas of Finite Group Representations: Co ₂ version 3