Caccioppoli set

I matematik är en Caccioppoli- mängd en mängd vars gräns är mätbar och har (åtminstone lokalt ) ett ändligt mått . En synonym är uppsättning av (lokalt) ändlig omkrets . I grund och botten är en mängd en Caccioppoli-mängd om dess karakteristiska funktion är en funktion av gränsad variation .

Historia

Grundkonceptet för en Caccioppoli-uppsättning introducerades först av den italienske matematikern Renato Caccioppoli i tidningen ( Caccioppoli 1927 ): med tanke på en planuppsättning eller en yta definierad på en öppen uppsättning i planet , definierade han deras mått eller area som den totala variationen i betydelsen av Tonelli av deras definierande funktioner , dvs av deras parametriska ekvationer , förutsatt att denna kvantitet var begränsad . Måttet på gränsen för en mängd definierades funktionell för första gången som en , exakt en uppsättningsfunktion : även, eftersom den definieras på öppna uppsättningar , kan den definieras på alla Borel-uppsättningar och dess värde kan approximeras av de värden den tar på sig ett ökande netto av delmängder . En annan tydligt uttalad (och demonstrerad) egenskap hos denna funktion var dess lägre semi-kontinuitet .

I tidningen ( Caccioppoli 1928 ) preciserade han genom att använda ett triangulärt nät som ett ökande nät som approximerar den öppna domänen, och definierar positiva och negativa variationer vars summa är den totala variationen, dvs det funktionella området . Hans inspirerande synpunkt, som han uttryckligen medgav, var Giuseppe Peanos , som uttrycks av Peano-Jordan Measure : att associera till varje del av en yta en orienterad plan area på ett liknande sätt som ett approximativt ackord är associerat med en kurva . Ett annat tema som återfinns i denna teori var också utvidgningen av en funktionell från ett delrum till hela omgivningsutrymmet : användningen av satser som generaliserar Hahn-Banach-satsen påträffas ofta i Caccioppolis forskning. Den begränsade innebörden av total variation i betydelsen Tonelli tillade emellertid mycket komplikation till den formella utvecklingen av teorin, och användningen av en parametrisk beskrivning av uppsättningarna begränsade dess räckvidd.

Lamberto Cesari introducerade den "rätta" generaliseringen av funktioner med begränsad variation till fallet med flera variabler först 1936: kanske var detta en av anledningarna som fick Caccioppoli att presentera en förbättrad version av sin teori bara nästan 24 år senare, i tal ( Caccioppoli 1953 ) vid IV UMI -kongressen i oktober 1951, följt av fem anteckningar publicerade i Rendiconti of the Accademia Nazionale dei Lincei . Dessa anteckningar kritiserades skarpt av Laurence Chisholm Young i Mathematical Reviews .

År 1952 presenterade Ennio de Giorgi sina första resultat, utvecklande av Caccioppolis idéer, om definitionen av måttet på gränser för uppsättningar vid Salzburg -kongressen i Austrian Mathematical Society: han erhöll dessa resultat genom att använda en utjämningsoperator, analog med en mollifier , konstruerad från den Gaussiska funktionen , som oberoende bevisar några resultat av Caccioppoli. Förmodligen leddes han att studera denna teori av sin lärare och vän Mauro Picone , som också hade varit lärare i Caccioppoli och var likaså hans vän. De Giorgi träffade Caccioppoli 1953 för första gången: under deras möte uttryckte Caccioppoli en djup uppskattning av hans arbete och startade deras livslånga vänskap. Samma år publicerade han sitt första papper om ämnet, dvs ( De Giorgi 1953 ), men detta papper och den närmast följande väckte inte mycket intresse från den matematiska gemenskapen. Det var först med tidningen ( De Giorgi 1954 ), som återigen granskades av Laurence Chisholm Young i Mathematical Reviews, som hans inställning till uppsättningar av finita omkretsar blev allmänt känd och uppskattad: också i recensionen reviderade Young sin tidigare kritik om verk av Caccioppoli.

Den sista artikeln från De Giorgi om teorin om omkretsar publicerades 1958: 1959, efter Caccioppolis död, började han kalla uppsättningar av ändliga omkretsar för "Caccioppoli-uppsättningar". Två år senare Herbert Federer och Wendell Fleming sin artikel ( Federer & Fleming 1960), vilket ändrade synsättet på teorin. I grund och botten introducerade de två nya typer av strömmar , normala strömmar respektive integralströmmar : i en efterföljande serie artiklar och i sin berömda avhandling visade Federer att Caccioppoli-mängder är normala strömmar av dimension $n$ i $n$ -dimensionella euklidiska rum . Men även om teorin om Caccioppoli-uppsättningar kan studeras inom ramen för teorin om strömningar , är det vanligt att studera den genom det "traditionella" tillvägagångssättet med hjälp av funktioner av begränsad variation , som de olika avsnitten finns i många viktiga monografier i matematik och matematisk fysik vittnar om.

Formell definition

I det följande kommer definitionen och egenskaperna för funktioner med begränsad variation i den $n$ -dimensionella inställningen att användas.

Caccioppoli definition

Definition 1 . Låt $\Omega$ vara en öppen delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ och låt $E$ vara en Borel-mängd . Omkretsen av $E$ i $\displaystyle \Omega }$ { definieras enligt följande

$P(E,\Omega )=V\left(\chi _{E},\Omega \right):=\sup \left\{\int _{\Omega } \chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{ 1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \|{\boldsymbol {\phi }}\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}$

där $\chi _{E}$ är den karakteristiska funktionen för $E$ . Det vill säga omkretsen av $E$ i en öppen mängd $\Omega$ definieras som den totala variationen av dess karakteristiska funktion på den öppna mängden. Om $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ så skriver vi $P(E)=P(E,\ mathbb {R} ^{n})$ för den (globala) omkretsen.

Definition 2 . Borel -mängden $E$ är en Caccioppoli-mängd om och endast om den har ändlig omkrets i varje avgränsad öppen delmängd $\Omega$ av $\mathbb {R} ^{n}$ , dvs

$P(E,\Omega )<+\infty$ närhelst $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ är öppen och avgränsad .

Därför har en Caccioppoli-uppsättning en karakteristisk funktion vars totala variation är lokalt begränsad. Från teorin om funktioner för begränsad variation är det känt att detta innebär att det finns ett vektorvärderat radonmått $D\chi _{E}$ så att

$\int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\mathrm {d} x=\int _{ E}\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _ {E}(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

Som nämnts för fallet med allmänna funktioner av begränsad variation , är detta vektormått D $\displaystyle D\chi _{E}}$ den fördelningsmässiga eller svaga gradienten av $\chi _{E}$ . Det totala variationsmåttet associerat med $D\chi _{E}$ betecknas med $|D\chi _{E}|$ , dvs för varje öppen mängd $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ skriver vi $|D\chi _{E}|(\Omega )$ för $P(E,\Omega )=V(\chi _{E},\Omega )$ .

De Giorgi definition

I sina artiklar ( De Giorgi 1953 ) och ( De Giorgi 1954 ) introducerar Ennio de Giorgi följande utjämningsoperator, analogt med Weierstrass-transformen i det endimensionella fallet

$W_ {\lambda }\chi _{E}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g_{\lambda }(xy)\chi _{E}(y)\mathrm {d} y=(\pi \lambda )^{-{\frac {n}{2}}}\int _{E}e^{-{\frac {(xy)^{2}}{\lambda }}} \mathrm {d} y$

Som man lätt kan bevisa är $W_{\lambda }\chi (x)$ en jämn funktion för alla $x\in \mathbb {R} ^{n }$ , så att

$\lim _{\lambda \to 0}W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\chi _{E} (x)$

dess gradient är överallt väldefinierad, och så är dess absoluta värde

$\nabla W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\mathrm {grad} W_{\lambda }\chi _{E}(x)=DW_{\lambda }\chi _{ E}(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\ frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{n}}}\\\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow \left|DW_{\lambda }\chi _{ E}(x)\right|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left|{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{ \partial x_{k}}}\right|^{2}}}$

Efter att ha definierat denna funktion ger De Giorgi följande definition av omkrets :

Definition 3 . Låt $\Omega$ vara en öppen delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ och låt $E$ vara en Borel-mängd . Omkretsen av $E$ i $\displaystyle \Omega }$ { är värdet

$P(E,\Omega )=\lim _{\lambda \to 0}\int _{\Omega }|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)|\mathrm {d } x$

Egentligen ansåg De Giorgi fallet $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ : dock är utvidgningen till det allmänna fallet inte svårt. Det kan bevisas att de två definitionerna är exakt likvärdiga: för ett bevis se redan citerade De Giorgis artiklar eller boken ( Giusti 1984 ). Efter att ha definierat vad en omkrets är, ger De Giorgi samma definition 2 av vad en uppsättning av ( lokalt) ändlig omkrets är.

Grundläggande egenskaper

Följande egenskaper är de vanliga egenskaperna som den allmänna uppfattningen om en omkrets är tänkt att ha:

• Om $\Omega \subseteq \Omega _{1}$ så $P(E,\Omega )\leq P(E, \Omega _{1})$ , med likhetsinnehav om och endast om stängningen av E $\displaystyle E}$ är en kompakt delmängd av $\Omega$ .
• För två valfria Cacciopoli-uppsättningar $E_{1}$ och $E_{2}$ , förhållandet $P(E_{1}\cup E_{2},\Omega )\leq P(E_{1},\Omega )+P(E_{2},\Omega _{1 })$ gäller, med likhetsinnehav om och endast om $d(E_{1},E_{2})>0$ , där $d$ är avståndet mellan mängder i det euklidiska rymden .
• Om Lebesgue-måttet på $E$ är $0$ , då $P(E)=0$ : detta innebär att om den symmetriska skillnaden $E_{1}\triangel E_{2}$ av två uppsättningar har noll Lebesgue-mått, de två uppsättningarna har samma omkrets dvs $P(E_{1})=P (E_{2})$ .

Föreställningar om gräns

För varje given Caccioppoli-mängd $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ finns det två naturligt associerade analytiska storheter: det vektorvärderade Radonmåttet $D\chi _{ E}$ och dess totala variationsmått $|D\chi _{E}|$ . Givet att

$P(E,\Omega )=\int _{\Omega }|D\chi _{E}|$

är omkretsen inom en öppen mängd $\Omega$ , bör man förvänta sig att $D\chi _{E}$ ensam på något sätt borde stå för omkretsen av $E$ .

Den topologiska gränsen

Det är naturligt att försöka förstå sambandet mellan objekten $D\chi _{E}$ , $|D\chi _{E}|$ , och den topologiska gränsen $\partial E$ . Det finns ett elementärt lemma som garanterar att stödet (i betydelsen distributioner ) av ${\displaystyle D\chi _{E}} ,$ och därför också ${\displaystyle |D\chi _{E}|} ,$ ingår alltid i $\partial E$ :

Lemma . Stödet för det vektorvärderade Radonmåttet $D\chi _{E}$ är en delmängd av den topologiska gränsen $\partial E$ av $E$ .

Bevis . För att se detta välj $x_{0}\notin \partial E$ : sedan tillhör ${\displaystyle x_{0}} den$ öppna mängden $\mathbb {R} ^{n}\setminus \partial E$ och detta antyder att den tillhör ett öppet område $A$ som finns i det inre av $E$ eller i det inre av $\ mathbb {R} ^{n}\setminus E$ . Låt $\phi \in C_{c}^{1}(A;\mathbb {R} ^{n})$ . Om $A\subseteq (\mathbb {R} ^{n}\setminus E)^{\circ }=\mathbb {R} ^{n }\setminus E^{-}$ där $E^{-}$ är stängningen av $E$ , då $\chi _{E}(x )=0$ för $x\in A$ och

$\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }} ,D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\chi _{E}(x)\,\operatörsnamn {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\, \mathrm {d} x=0$

På samma sätt, om $A\subseteq E^{\circ }$ så är $\chi _{E}(x)=1$ för $x\in A$ så

$\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _ {E}(x)\rangle =-\int _{A}\operatörsnamn {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0$

Med $\phi \in C_{c}^{1}(A,\mathbb {R} ^{n})$ godtyckligt följer att $x_ {0}$ är utanför stödet för $D\chi _{E}$ .

Den minskade gränsen

Den topologiska gränsen $\partial E$ visar sig vara för grov för Caccioppoli-mängder eftersom dess Hausdorff-mått överkompenserar för omkretsen $P(E)$ som definierats ovan. Sannerligen, den Caccioppoli som

$E=\{(x,y):0\leq x ,y\leq 1\}\cup \{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\subset \mathbb {R} ^{2}$

representerar en kvadrat tillsammans med ett linjesegment som sticker ut till vänster har omkretsen ${\displaystyle P(E)=4} ,$ dvs det yttre linjesegmentet ignoreras, medan dess topologiska gräns

$_ \displaystyle \partial E=\{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\cup \{(x,1):0\leq x\leq 1\}\cup \{(x, y):x\in \{0,1\},0\leq y\leq 1\}}$

har endimensionell Hausdorff-mått ${\mathcal {H}}^{1}(\partial E)=5$ .

Den "rätta" gränsen bör därför vara en delmängd av $\partial E$ . Vi definierar:

Definition 4 . Den reducerade gränsen för en Caccioppoli-mängd $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ betecknas med $\partial ^{*}E$ och definieras som lika att vara samlingen av punkter $x$ där gränsen:

$\nu _{E}(x):=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}$

finns och har längd lika med ett, dvs $|\nu _{E}(x)|=1$ .

Man kan anmärka att genom Radon-Nikodyms sats den reducerade gränsen $\partial ^{*}E$ nödvändigtvis ingår i stödet för ${\displaystyle D\chi _{E}} ,$ som i sin tur ingår i den topologiska gränsen $\partial E$ som förklaras i avsnittet ovan. Det är:

$\partial ^{*}E\subseteq \operatörsnamn {support} D\chi _{E}\subseteq \partial E$

Inkluderingarna ovan är inte nödvändigtvis likheter som föregående exempel visar. I det exemplet $\partial E$ kvadraten där segmentet sticker ut, $\operatörsnamn {support} D\chi _{E}$ är kvadraten och $\partial ^{*}E$ är kvadraten utan dess fyra hörn.

De Giorgis sats

För enkelhetens skull behandlar vi i detta avsnitt endast fallet där $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ , dvs mängden $E$ har (globalt) ändlig omkrets. De Giorgis teorem ger geometrisk intuition för föreställningen om reducerade gränser och bekräftar att det är den mer naturliga definitionen för Caccioppoli-mängder genom att visa

$P(E)\left(=\int |D\chi _{E}|\right)={ \mathcal {H}}^{n-1}(\partial ^{*}E)$

dvs att dess Hausdorff-mått är lika med uppsättningens omkrets. Utsagan av satsen är ganska lång eftersom den kopplar samman olika geometriska föreställningar i ett svep.

Sats . Antag att $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ är en Caccioppoli-mängd. Sedan vid varje punkt $x$ av den reducerade gränsen $\partial ^{*}E$ finns det en multiplicitet ett ungefärligt tangentrum $T_{x}$ av $|D\chi _{E}|$ , dvs ett delrum $T_{x}$ av $\mathbb {R} ^{n}$ så att

$\lim _{\lambda \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\lambda ^{-1}(zx))|D\chi _{E}|(z)=\int _{T_{x}}f(y)\,d{\mathcal {H}}^{n-1 }(y)$

för varje kontinuerlig, kompakt stödd $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ . I själva verket är delrummet $T_{x}$ det ortogonala komplementet till enhetsvektorn

$\nu _{E}(x)=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho } (x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}$

definierat tidigare. Denna enhetsvektor uppfyller också

$\lim _{\lambda \downarrow 0}\left\{ \lambda ^{-1}(zx):z\in E\right\}\to \left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot \nu _{E}(x) >0\right\}$

lokalt i $\displaystyle L^{1}}$ { , så det tolkas som en ungefärlig inåtriktad enhetsnormalvektor till den reducerade gränsen $\partial ^{*}E$ . Slutligen, $\partial ^{*}E$ är (n-1)- likriktbar och begränsningen av (n-1)-dimensionellt Hausdorff-mått ${\mathcal {H} }^{n-1}$ till $\partial ^{*}E$ är $|D\chi _{E}|$ , dvs

$|D\chi _{E}|(A)={\mathcal {H}}^{n-1}(A\cap \partial ^{*}E)$ för alla Borel-mängder $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ .

Med andra ord, upp till ${\mathcal {H}}^{n-1}$ -mät noll den reducerade gränsen $\partial ^{*}E$ är den minsta ställ in på vilken $D\chi _{E}$ stöds.

Ansökningar

En Gauss-Grön formel

Från definitionen av vektorn Radonmått $D\chi _{E}$ och från egenskaperna för omkretsen, gäller följande formel:

$\int _{E}\operatörsnamn {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial E}\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x) \rangle \qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

Detta är en version av divergenssatsen för domäner med icke jämn gräns . De Giorgis teorem kan användas för att formulera samma identitet i termer av den reducerade gränsen $\partial ^{*}E$ och den ungefärliga inåtriktade enheten normalvektor $\nu _{E}$ . Exakt gäller följande jämlikhet

$\int _{E}\operatörsnamn {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial ^{*}E}{\boldsymbol {\phi }} (x)\cdot \nu _{E}(x)\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}(x)\qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_ {c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$

Se även

• Geometrisk måttteori
• Divergenssats
• Pfeffer integral

Anteckningar

Historiska referenser

•    Ambrosio, Luigi (2010), "La teoria dei perimetri di Caccioppoli–De Giorgi ei suoi più recenti sviluppi" [De Giorgi-Caccioppolis teori om omkretsar och dess senaste utveckling], Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni 21 , (9 , 3): 275–286, doi : 10.4171/RLM/572 , MR 2677605 , Zbl 1195.49052 . En uppsats som kartlägger historien om teorin om uppsättningar av ändlig omkrets, från Renato Caccioppolis brytningsuppsats och Ennio De Giorgis bidrag till några nyare utvecklingar och öppna problem i metriska måttutrymmen, i Carnot-grupper och i oändligt dimensionell Gaussian mellanslag.
•   Caccioppoli, Renato (1927), "Sulla quadratura delle superfici piane e curve" [Om kvadraturen av plana och krökta ytor], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VI (på italienska), 6 : 142–146, JFM 53.0214.02 . Den första uppsatsen som innehåller den avgörande idén om vad en Caccioppoli-uppsättning är.
•   Caccioppoli, Renato (1928), "Sulle coppie di funzioni a variazione limitata" [Om par av funktioner av begränsad variation], Rendiconti dell'Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli , 3 (på italienska), 34 : 83–88, JFM 54.0290.04 . Arbetet där Caccioppoli gjorde rigorösa och utvecklade begreppen som introducerades i det föregående dokumentet ( Caccioppoli 1927) .
•    Caccioppoli, Renato (1953), "Elementi di una teoria generale dell'integrazione k -dimensionale in uno spazio n - dimensionale", Atti IV Congresso UMI, Taormina, oktober 1951 [ Elements of a general theory of k -dimensional integration in a n -dimensionellt utrymme ] (på italienska), vol. 2, Roma : Edizioni Cremonese (distribuerad av Unione Matematica Italiana ), s. 41–49, MR 0056067 , Zbl 0051.29402 . Den första artikeln som beskriver teorin om finita omkretsuppsättningar i en ganska komplett miljö.
•    Caccioppoli, Renato (1963), Opere scelte [ Selected papers ], Roma : Edizioni Cremonese (distribuerad av Unione Matematica Italiana ), s. XXX+434 (vol. 1), 350 (vol. 2), ISBN 88-7083-505 -7 , Zbl 0112.28201 . Ett urval ur Caccioppolis vetenskapliga arbeten med en biografi och en kommentar om Mauro Picone .
•    Cesari, Lamberto (1936), "Sulle funzioni a variazione limitata" [Om funktionerna för begränsad variation], Annali della Scuola Normale Superiore , Serie II (på italienska), 5 (3–4): 299–313, MR 1556778 , Zbl 0014.29605 . Finns hos Numdam . Cesaris vattendelaretidning, där han utökar det nu kallade Tonelli-planvariationsbegreppet till att i definitionen inkludera en underklass av klassen av integrerbara funktioner.
•    De Giorgi, Ennio (1953), "Definizione ed espressione analitica del perimetro di un insieme" [Definition och analytiskt uttryck för en uppsättnings omkrets], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VIII (på italienska), 14 : 390–393, MR 0056066 , Zbl 0051.29403 . Den första noten publicerad av De Giorgi som beskriver hans inställning till Caccioppoli-uppsättningar.
•     De Giorgi, Ennio (1954), "Su una teoria generale della misura ( r -1) -dimensionale in uno spazio ad r dimensioni" [Om en allmän teori om ( r -1 ) -dimensionellt mått i r -dimensionellt rum], Annali di Matematica Pura ed Applicata , Serie IV (på italienska), 36 (1): 191–213, doi : 10.1007/BF02412838 , hdl : 10338.dmlcz/126043 , MR 00622414 Z 00622414 Z07 1, S062221ID 1 , S0622414 Z 00622414 Z07 .28504 . Den första fullständiga utläggningen av De Giorgi av teorin om Caccioppoli uppsättningar.
•     Federer, Herbert ; Fleming, Wendell H. (1960), "Normal and integral currents", Annals of Mathematics , Series II, 72 (4): 458–520, doi : 10.2307/1970227 , JSTOR 1970227 , MR 0123260 .3187, Zbl 1018 . Den första uppsatsen av Herbert Federer som illustrerar hans inställning till teorin om omkretsar baserat på teorin om strömmar.
•    Miranda, Mario (2003), "Caccioppoli sets" , Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei, Matematica e Applicazioni , IX, 14 (3): 173–177, MR 2064264 , Zbl 10302 , den 04 , 04-04 originalet. 06-04 , hämtad 2007-01-14 . Ett papper som skissar historien om teorin om uppsättningar av ändlig omkrets, från Renato Caccioppolis nybörjartidning till de viktigaste upptäckterna.

Vetenskapliga referenser

•    De Giorgi, Ennio ; Colombini, Ferruccio; Piccinini, Livio (1972), Frontiere orientate di misura minima e questioni collegate [ Oriented boundaries of minimal measure and related questions ], Quaderni (på italienska), Pisa : Edizioni della Normale, sid. 180, MR 0493669 , Zbl 0296.49031 . En avancerad text, orienterad mot teorin om minimala ytor i den flerdimensionella miljön, skriven av en av de ledande bidragsgivarna.
•     Federer, Herbert (1996) [1969], Geometric measure theory , Classics in Mathematics, Berlin - Heidelberg - New York City : Springer-Verlag New York Inc., s. xiv+676, ISBN 3-540-60656-4 , MR 0257325 , Zbl 0176.00801 , särskilt kapitel 4, stycke 4.5, avsnitt 4.5.1 till 4.5.4 " Set med lokalt ändlig omkrets ". Den absoluta referenstexten i geometrisk måttteori .
• Simon, Leon (1983), Lectures on Geometric Measure Theory , Proceedings of the Center for Mathematical Analysis, vol. 3, Australian National University , särskilt kapitel 3, avsnitt 14 " Set av lokalt ändlig omkrets ".
• Giusti, Enrico (1984), Minimala ytor och funktioner för avgränsade variationer , Monographs in Mathematics, vol. 80, Basel - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , s. xii+240,     0-8176-3153-4 , MR 0775682 , Zbl 0545.49018 , ISBN särskilt del I, kapitel 1 " Functions of Cacciopoli set variations and "Cacciopoli set variations En bra referens till teorin om Caccioppoli-uppsättningar och deras tillämpning på Minimal ytaproblemet .
•     Hudjaev, Sergei Ivanovich; Vol'pert, Aizik Isaakovich (1985), Analys i klasser av diskontinuerliga funktioner och ekvationer av matematisk fysik, Mekanik: analys, vol. 8, Dordrecht-Boston-Lancaster: Martinus Nijhoff Publishers, s. xviii+678, ISBN 90-247-3109-7 , MR 0785938 , Zbl 0564.46025 , särskilt del II, kapitel 4 stycke 2 " Set med ändlig omkrets ". En av de bästa böckerna om BV -funktioner och deras tillämpning på problem inom matematisk fysik , särskilt kemisk kinetik .
•     Maz'ya, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces , Berlin – Heidelberg –- New York City : Springer-Verlag , s. xix+486, ISBN 3-540-13589-8 , MR 0817985 , Zbl 0692.46023 ; särskilt kapitel 6, "Om funktioner i utrymmet BV (Ω) ". En av de bästa monografierna om teorin om Sobolev-rymden .
•    Vol'pert, Aizik Isaakovich (1967), "Spaces BV and quasi-linear equations" , Matemacheskii Sbornik , (NS) (på ryska), 73(115) (2): 255–302, MR 0216338 , Zbl 0168.07 . En nyskapande artikel där Caccioppoli-mängder och BV -funktioner studeras djupt och begreppet funktionell superposition introduceras och tillämpas på teorin om partiella differentialekvationer .

externa länkar

• O'Neil, Toby Christopher (2001) [1994], "Geometric measure theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Zagaller, Victor Abramovich (2001) [1994], "Perimeter" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Funktion av begränsad variation vid Encyclopedia of Mathematics